series geometrique - convergence et somme de la serie

[invite7ccd85f5]

Bonjour,

je me présente je m'appelle martin et je suis en 1ere informatique de gestion à Bruxelles

je butes sur un exercice dont je n'ai pas la réponse dans mon cours
voici l'énoncé :

la serie commencant par 1 et de terme general 4^-n.
etudier en la convergence et si elle converge, trouver la valeur de la somme


alors moi j'en ai déduit (d'apres ma theorie) que si la suite de terme general Un=4^-n converge vers 0 alors la serie converge également vers 0

donc vu que elle converge ,je calcul la limite de la somme :
lim U0 (1-(1/4)^n-1)/(1-1/4) =4/3

je pense que mon exercice est bon cependant j'aimerais bien que quelqu'un m'aide à démontré mathematique ment la phrase "si la suite de terme general Un=4^-n converge vers 0 alors la serie converge également vers 0"
(je pense que si j'écris cela à mon examen mon prof va pas aimé par manque de justification)

merci d'avance,

martin
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[Médiat]

Bonjour,

"si la suite de terme general Un=4^-n converge vers 0 alors la serie converge également vers 0"
(je pense que si j'écris cela à mon examen mon prof va pas aimé par manque de justification)

Il va d'autant moins aimer que c'est faux, il suffit de prendre la suite de terme général Un = 1/n, qui converge vers 0, mais la série est divergente ...

[invite7ccd85f5]

alors que dois-je demontré pour montré que la serie est bien convergente ? la limite de la somme suffit ?

[danyvio]

Il te faut réviser la notion de suite géométrique. ici, la raison est 4^-1

Appliquer à la formule que tu DOIS connaître ou savoir reconstituer, qui donne la somme d'une série géométrique connaissant son premier terme et sa raison.....

Je confirme ce qui t'a été dit par ailleurs : il ne suffit pas que le terme général d'une série tende vers zéro pour que la somme converge. Ce serait trop simple Mais c'est une condition nécessaire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ccd85f5]

voici les 2 formules de mon cours, la seconde decoulant de la premiere (je ne vai pas recopier la demonstration lol)

Sn = (U₀ - U_n+1)/(1-Q)
Sn=U₀ * (1-Qⁿ⁺¹)/1-Q

j'ai bien compris votre raisonnement

Appliquer à la formule que tu DOIS connaître ou savoir reconstituer, qui donne la somme d'une série géométrique connaissant son premier terme et sa raison.....

mais le n il vaut quoi pour avoir la valeur de U_n+1 ou Qⁿ⁺¹?
il est la mon problème ... vais-je devoir calculer S_1,2,3,...?

[danyvio]

voici les 2 formules de mon cours, la seconde decoulant de la premiere (je ne vai pas recopier la demonstration lol)

Sn = (U₀ - U_n+1)/(1-Q)
Sn=U₀ * (1-Qⁿ⁺¹)/1-Q

j'ai bien compris votre raisonnement



mais le n il vaut quoi pour avoir la valeur de U_n+1 ou Qⁿ⁺¹?
il est la mon problème ... vais-je devoir calculer S_1,2,3,...?

Que devient Sn quand n tend vers + infini ?

[invite1e1a1a86]

tu sais que:





dont tu connais la limite car

ainsi



tu peux montrer de la même façon que toutes les séries géométriques convergent vers si et divergent sinon (pour q réel ou complexe même....)

en tout cas:
tu ne dois pas penser que "si la suite de terme general Un=4^-n converge vers 0 alors la serie converge également" car c'est entierement faux (et logiquement, c'est écrit en gros dans ton cours sur les séries...) si la série converge alors nécessairement la suite tend vers 0 (ce qui permet de montrer que les séries géométriques avec divergent) mais si la suite tend vers 0, tu ne peux rien conclure sur la convergence de la série.

Comme dis précédemment:

diverge

converge

[invite7ccd85f5]

ok pour mon exercice j'ai compris

cependant je ne comprend pas quand vous dite que la somme de 1/k diverge

1/1+1/2+1/3+1/4+1/5 ... cette somme à quand même l'air de tendre vers un nombre non ?

et justement l autre suite que vous citez je trouve quelle diverge ...

du coup je me dis que il y a encore quelque chose que je n'ai pas compris

je vais refaire un ou 2 exercices , je les posterai ici après, ca aidera sans doute quelqu'un à voir ce que je ne comprend pas ...

en tout cas je vous remercie déjà pour votre aide précieuse

[invite7ccd85f5]

et en passant si quelqu'un savait me dire comment faire les signes de sommation et les calculs dans un message ca me simplifierait la vie et vous la lecture ^^

[Médiat]

et en passant si quelqu'un savait me dire comment faire les signes de sommation et les calculs dans un message ca me simplifierait la vie et vous la lecture ^^

Faites "Citer" sur un message qui contient une somme et pour plus de renseignements, regardez là : http://forums.futura-sciences.com/an...e-demploi.html

[invite7ccd85f5]

merci bien

[invite1e1a1a86]

que veut dire "l'air de tendre vers un nombre"?
sans demonstration, tu ne peux pas le savoir

Il existe beaucoup de démonstrations pour montrer que la série des diverge vers l'infini (tape Série Harmonique sur google par exemple) et c'est aussi vu en cours car c'est un exemple très simple (Série de Riemann)

enfin, la série harmonique alternée converge bien (et vers ln(2)). Il existe aussi beaucoup de façon de le montrer... (cf google)

[danyvio]

1/1+1/2+1/3+1/4+1/5 ... cette somme à quand même l'air de tendre vers un nombre non ?

Ne pas se fier à "l'air" que cette série se donne

Elle tend vers l'infini, très lentement, c'est vrai mais inexorablement !

[invite7ccd85f5]

merci pour l'info danyvio ^^

je pense avoir compris

1000 merci a tous ceux qui ont participé a cette discussion

au revoir