Exponentielle complexes

[inviteec33ac08]

Bonsoir,

Résoudre exp(ix)+exp(iy)=1+exp(ia) ou x et y sont les inconnues.

J'ai dit dans un premier temps que si a est congru à Pi modulo 2 Pi on a
x-y congru à Pi modulo 2 Pi. Mais apres je bloque. Merci encore de votre aide =)
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[invitec4bbab6d]

Moi je commencerai par réécrire l'équation sous forme de cosinus/sinus pour procéder par identification :

en identifiant les parties réelles et imaginaires tu obtiens deux équations:

après tu peux remarquer que avec et en jouant sur la transformation d'une somme de cosinus en produit (cf. relations trigonométriques Wikipédia) tu arrives à des solutions de la forme :

(puisque ton problème est symétrique)

je n'ai pas continuer le raisonnement avec les sinus, ça reste une piste...

bon courage

[inviteec33ac08]

Je viens de retrouver la correction de mon prof et il dit qu'il faut échanger x et y et remplacer x par x + 2Pi et supposer

(x+y)/2 congru à a/2 modulo 2Pi et (x-y)/2 congru à a/2 modulo 2P

Quelqu'un peut m'aider car jen e comprend absolument riens de son raisonnement .

Merci =)

[invitec4bbab6d]

Je ne vois pas le but de changer x et y puisque ce ne sont que des dénominations d'inconnues et le problème est parfaitement symétrique par rapport à ces deux inconnues... Je vais y réfléchir...

Juste une petite précision, remplacer x par x+2Pi ne change rien à mon avis puisque exp(2iPi)=1. Tu ne dois pas avoir la correction complète. A nous de la retrouver !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteec33ac08]

Bon je ne suis pas sur mais je me lance ,

exp(ix)+exp(iy)=1+exp(ia)

On prend exp(ix)=1=exp(2k*Pi) avec k un entier

d'ou x congru à 0 modulo 2*Pi

Ensuite exp(iy)=exp(ia)

d'ou y congru à a modulo 2*Pi

L'ensemble des solutions est donc les couples (2k*Pi, a+2k'*Pi et (a+2k*Pi, 2k'*Pi)

Et en fait quand mon prof parlait d'échanger c'était parce que on a deux couples solutions symétriques =) . Sur ce, bonne nuit et merci encore de ton aide =)

[invitec4bbab6d]

A mais en fait mes solutions étaient bonne alors bon j'avais zappé d'écrire +2kPi après le a, mea culpa

content que t'y sois parvenu