Racine n-ième

[jules345]

Bonjour,

Soit w une racine n ième de 1 et p un entier >=1, peut on dire que pour tout p w^p est également une racine n-ième ?

J'ai voulu montrer cette propriété par récurrence,

Pour p=1 c'est trivial.

Pour l'hérédité, on a w^(p+1)n=w^pn*w^n
w^n=1
w^pn=1 c'est l'hypothèse de récurrence donc c'est vérifiée

La propriété est donc vraie.

Pouvez-vous me dire s'il y a une erreur ? (mis à part la rédaction du raisonnement par récurrence )

Car en fait je suis sur l'exo suivant, soit n>=2, p>=1 et je dois calculer la somme des puissances p ièmes des racines d'ordre n de l'unité et je ne comprend pas car dans la correction il est dit que si p est un multiple de n la somme vaut n sinon la somme est nulle ? La je comprends moins. Merci de votre aide =)
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[pat7111]

J'ai voulu montrer cette propriété par récurrence,

Pourquoi pas mais ca me parait bien inutile ici. Monte ton a la puissance n, si ca fait 1 alors est une racine n-eme de l'unite (sinon non...)

[Cuv]

J'avoue, la récurrence est bonne mais tu n'en as pas besoin ici. Puisque tu considère une racine n-ième de l'unité tu peux l'élever à n'importe quelle puissance cela fera toujours 1.

Au moins tu maîtrise la récurrence

[jules345]

Ok c'est vrai que faire une récurrence c'est pas vraiment utile ici . Par contre l'un d'entre-vous a t-il compris la correction de l'exo ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[SchliesseB]

que vaut ça te débloqueras pour la 2

[jules345]

Ben si k=n-1 ça vaut 0. Ah ok merci de ton aide je vois, mais pour le premier comment s'y prend on ?

[Cuv]

Je suppose que tu as vu que la forme générale des racines n-ième de l'unité s'écrit :

Maintenant fixe un entier multiple de , tu peux l'écrire : où .

Tu cherches à calculer la somme :

en remplaçant par (cf. plus haut) tu obtiens :

or est un multiple de donc or tu as termes dans ta somme d'où.....

Voilà sa répond à ta question ?

[jules345]

Ah ouais bien joué , mais alors je ne comprend pas pourquoi on dit que la somme des racines n-ième est nulle et la qu'elle est égale à n ?

[Cuv]

Attention, la ce n'est pas la somme des racines n-ièmes qui est égale à n, c'est la somme des puissances p-ièmes des racines n-ièmes.

Refaisons le calcul pour et non multiple de n, autrement dit, où et l'on fait la somme des racines n-ièmes de l'unité.

On cherche donc :

et on a :

tu remarques que le premier termes de la somme est égale à 1 puisque est un multiple de on a donc :

Le second terme (la somme restante) est la somme des termes successifs d'une suite géométrique de raison tu as donc le résultat classique suivant :

or, et cela découle de te ta première question, est une racin n-ième de l'unité donc le numérateur vaut 0! Et par suite ta somme vaut zéro !

C'est claire comme ça ?

Note bien que j'ai utilisé la notation exponentielle des racines n-ièmes de l'unité mais tu peux faire exactement le même raisonnement en les notant pour alléger les calculs. Note aussi que je me suis compliqué la vie, on aurait pu se passer d'écrire comme je l'ai fait puisque finalement on se ramène au même problème avec qui n'est pas multiple de c'était juste pour préciser l'écriture générale d'un entier non multiple de . Si ce n'est pas claire n'hésite pas je recommencerai l'explication en allégeant le tout.

[SchliesseB]

mon message

que vaut ça te débloqueras pour la 2

attendait comme réponse:

si q est différent de 1

edit: tu as corrigé l'erreur seul Cuv

[Cuv]

J'ai modifier la sommation SchliesseB, j'avais en effet un "n" en trop... Mais j'ai vu que tu as aussi modifié ton message

[jules345]

Ah ok d'accord c'est plus clair. Encore merci beaucoup de ton aide =).