Equation différentielle

[silk78]

Bonjour,

Récemment, un problème mathématique que je cherchais à résoudre m'a mené à une équation différentielle, que malheureusement je ne sais pas résoudre, malgré son apparente simplicité.

Soit a et b deux réels, je cherche y telle que :
y'(x) = a*x*y(x)+b
(En fait dans mon cas, j'ai seulement a=1/2 et b=-1/2,mais je suis curieux de connaître le résultat général)

Pour ce qui est du domaine de définition de y, le plus "grand" serait le mieux, même si R⁺ me suffirait.

Je sais résoudre l'équation avec b=0, mais pas si b est non nul. Peut-on exprimer y en fonction de a et b avec des fonctions usuelles ?
Si oui, je suis intéressé par tout résultat ou indications pour en trouver (accessibles toute fois à un L1 ou un tout petit peu au dessus).

Merci d'avance pour vos réponses.
Cordialement, Silk
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[SchliesseB]

il s'agit d'une équation différentielle linéaire: on trouve les solutions de l'équation homogène (cas b=0) et on cherche une solution de l'équation totale pour avoir toute les solutions. dans ce cas, on peut utiliser la méthode de variation de la constante ou développer en série entière.

enfin, on trouve:

en reconnaissant la fonction erf d'erreur http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_d'erreur

[SchliesseB]

tu étais peut-être interressé plus par la méthode:

l'équation homogène étant résolue , on cherche une solution (particulière) de l'équation différentielle totale (avec b non nul donc).

on la cherche sous la forme (après tout pourquoi pas)

en injectant dans l'équation, on obtient:
c'est-à-dire
et on utilise la fonction d'erreur pour primitiver ça.

Une autre méthode: le développement en série entière:
je cherche une solution sous la forme:
j'injecte ça dans mon équation, je fais un changement d'indice et j'écris les relations de récurrence entre les : je trouve une relation de récurrence entre et c'est-à-dire les indices impairs sont reliés entre eux et les indices pairs entre eux. En particulier, seul la partie impaire dépend de b... mais bon, il n'est pas facile à partir des coefficients de la série de retrouvez le produit erf fois exp(-x²)....

[silk78]

Merci SchliesseB. Ta méthode répond bien à ma question

Par contre, ça aide pas mon problème, car j'essayais de trouver une autre manière que celles habituelles pour calculer la limite de erf en + l'infini donc en fait je tournais en rond ^^

[A voir en vidéo sur Futura]