Polynômes à racines et extremums rationnels

[invite0441d35b]

Bonjour,

Depuis quelque temps je me pose la question suivante sans arriver à y répondre :

Peut-on déterminer tous les polynômes de degré 3, à coefficients rationnels, ayant 3 racines distinctes et rationnelles et 2 extremums à coordonnées rationnelles également ?
Et pour les degrés plus élevés ?

Voici comment j'ai procédé pour arriver à en trouver un de degré 3:
(Attention c'est long !)
Un polynôme de degré 3 qui a 3 racines distinctes peut, après changement de variable, se ramener à P(x)=(x-a)(x-b)x avec a,b distincts et non nuls.
On développe : P(x)=x^3-(a+b)x^2+ab=x^3-Sx+P (S, P désignent somme produit de a et b, P non nul )
On dérive : P'(x) = 3x^2-2Sx+P
On veut deux racines rationnelles à P'.
Donc discriminant carré rationnel, soit 4S²-12P=n² avec n rationnel non nul.
De plus a et b sont solutions de X²-Sx+P=0 donc discriminant carré rationnel, soit S²-4P=m², m rationnel non nul.
En faisant n²-3m² on obtient l'égalité n²-3m²=S²
P doit être non nul donc on doit exclure les cas où m=S, m=0 ou n=0.
Un coup de tableur et j'ai trouvé une solution:
14²-3*3²=13²
ce qui donne S=13, P=40, a=5, b=8

Le polynôme (x-5)(x-8)x répond bien aux conditions :
racines 5, 8 et 0
extremums d'abscisse 2 et 20/3


La question donc maintenant : peut-on les déterminer tous ?

Merci d'avance !
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[invite332de63a]

Bonjour,
tout d'abord tu as tous les K.P(Ax+B) +C si je ne m'abuse, et ensuite ben tente de trouver d'autres solutions à S²-4P=m² ou alors dans un cas général exprimer n en fonction de m ou réciproquement.

[invite0441d35b]

Merci pour ta réponse Roberto.
Effectivement on a une infinité de polynômes par changement de variable à partir de celui que j'ai trouvé.

Le problème c'est comment faire pour trouver d'autres solutions à n²-3m²=S², et surtout est-il possible de toutes les trouver ?
C'est une équation diophantienne, est-ce-qu'on peut caractériser les solutions comme pour les triplets pythagoriciens par exemple ?

[invite332de63a]

Certes c'est une équation diophantienne mais pas trop jolie du fait de ses carrés,

S=a+b, et P=ab
je ne pense pas qu'il faille partir de n²-3m²=S² car la somme de deux nombres irrationnels peut être rationnelle.

or n²=4S²-12P, m²=S²-4P
donc n²=4(a²+2ab+b²)-12ab et m²=(a²+2ab+b²)-4ab
n²=4a²+4b²-4ab et m²=a²-2ab+b²=(a-b)²
donc m=a-b ou b-a et
n²=4a²+4b²-4ab

il faut donc que 4a²+4b²-4ab soit un carré parfait divisé par un autre carré parfait,

donc hormis erreur de calcul m n'est pas un soucis... le soucis c'est n

cherche peut être a quelles conditions il existe r et q tel que

r²/q²=4a²+4b²-4ab mais je doute que çà soit des plus aisé

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1e1a1a86]

J'ai un peu réflechi au problème mais je n'aboutis pas:

Soit P un polynôme de degré 3 avec 3 racines différentes rationnelles et de dérivées P' avec 2 racines différentes rationnelles (une entre chaque paire de racines de P)

Je peux alors écrire
P=kQ(x+c)
avec
Q(x)=(x-a)(x-b)x qui vérifie les hypothèses
k réel quelconque, c,a et b des rationnels

de plus, il faut (et suffit) que
soit le carré d'un rationnel.

a partir de là, je tourne en rond
en posant a=p/q et b=m/n (p et q premiers entre eux, idem pour m et n)
en multipliant par le ppcm de q et n (noté h) j'obtiens

est un carré parfait (carré d'un entier)
en recherchant un peu du coté des "quadruplets pythagoriciens", je n'ai pas trouvé de manière de conclure...

[invite1e1a1a86]

hum

en divisant par
en posant

est un carré dans les rationnels ainsi la condition est uniquement sur (a/b)

J'ai peut être fait une erreur d'équivalence aussi

[invite332de63a]

C'est vrai que ce n'est pas simple.