Limite d'une suite

[invite4ef4f92f]

bonjour!
je suis en ce moment en train de me pencher sur une limite de suite que je n'arrive pas à resoudre.
il s'agit de u_n = n^(n+1)/n - (n-1)^n/(n-1).
j'ai essayé de mettre des facteurs communs, de factoriser mais je retombe toujous sur la forme indeterminée oo-oo.
pourriez vous m'indiquer un début de méthode pour me débloquer ?
merci!
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[invite332de63a]

Bonjour,
je te proposerai d'étudier par un développement limité au voisinage de l'infini.

[invitec4bbab6d]

Salut,

si tu connais les résultats classiques de limites pour des expressions du type : lorsque , tu peux réécrire ton expression comme :

Tu factorises ensuite par et tu devrais normalement lever ton indétermination et trouver comme limite 0.

Bonne journée

[invite4ef4f92f]

je te proposerai d'étudier par un développement limité au voisinage de l'infini.

alors j'ai posé x=1/X. je dois donc faire un developpement limité en 0 de f(X) = (1/X)^X+1 - (1/X-1)^1/(1-x)
je suis ensuite passé à l'exponentielle, je ne sais pas si c'est ce qu'il faut faire ? mais après je suis bloqué pour faire le DL parce que je me retrouve avec exp() - exp (), non définie en 0 !

tu factorises ensuite par et tu devrais normalement lever ton indétermination et trouver comme limite 0.

Je ne dois pas plutôt factoriser par ? Mais dans les 2 cas de toute façon je n'arrive pas à factoriser la deuxième partie de l'expression : ...
PS : la limite que je dois trouver est 1.....!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1e1a1a86]

je pose dont je cherche un d.l. en l'infini
en posant

dont je cherche à faire un d.l. en 0



quand X tend vers 0, Xln(X) aussi, donc




ainsi





sauf erreur (de manipulage des 'o' surtout, vérifie bien)

[invite4ef4f92f]

Merci beaucoup ! Tout est parfaitemeent clair, à part cet égalité :

J'aimerai également par curiosité que quelqu'un m'explique la méthode de Cuv qui me semblit intéressante ?

Merci

[invite1e1a1a86]

ln(n)-ln(n-1)=-ln(1-1/n)=0(1/n)


idem pour l'autre, tu peux montrer que n[ln(n)^2/n-ln(n-1)^2/(n-1)] est borné en l'infini assez facilement. (1/n<1/(n-1) puis a^2-b^2=(a-b)(a+b) puis un d.l du ln de la difference et tu tombe sur un ln(X)/X )

[invite4ef4f92f]

ln(n)-ln(n-1)=-ln(1-1/n)=0(1/n)


idem pour l'autre, tu peux montrer que n[ln(n)^2/n-ln(n-1)^2/(n-1)] est borné en l'infini assez facilement. (1/n<1/(n-1) puis a^2-b^2=(a-b)(a+b) puis un d.l du ln de la difference et tu tombe sur un ln(X)/X )

Merci beaucoup!!!