Structure d'un espace de Hilbert

[DarK MaLaK]

Bonjour, j'ai abordé la mécanique quantique assez récemment et je vois l'utilisation de cet espace pour modéliser le comportement quantique des particules comme une simplification géniale... Je comprends globalement la simplification des concepts physiques qu'elle permet. En revanche, au niveau mathématique, j'ai beaucoup plus de mal à cerner clairement ce qu'est un espace de Hilbert.

Pourriez-vous me décrire les propriétés principales d'un tel espace, sachant que j'ai relativement peu de connaissances en topologie mais que je cherche quand même de la rigueur ( et éventuellement des explications "avec les mains" pour compléter) puisque je pose ma question sur le forum mathématiques ?

Pour vous aider à m'aiguiller, je vous donne mes maigres connaissances sur cet espace en fonction de ce que j'ai compris. C'est un C-espace vectoriel, et on y trouve des vecteurs bras et kets qui sont de nature différente, un produit scalaire (invariant?), et... c'est tout.
-----

[invite97a92052]

Salut,

Pour commencer, il est peut être plus facile de voir ça sous l'angle "espace préhilbertien complet" ? On peut se ramener à 3 choses simples donc :

- espace vectoriel normé
- la norme provient d'un produit scalaire (cf. l'identité du parallélogramme).
- il est complet

Bref, 3 propriétés qui donnent des espaces "bisounours" ou "la plupart des choses" se passent "bien" (notez les guillemets )
Si on est pas trop tatillon, notre perception du monde se colle bien à la notion d'espace de Hilbert

[invited5b2473a]

C'est un C-espace vectoriel, et on y trouve des vecteurs bras et kets qui sont de nature différente, un produit scalaire (invariant?), et... c'est tout.

Ton espace de Hilbert H est constitué de vecteurs, également appelés ket et notés |x>. Un bra <x| n'est pas un vecteur mais une "forme linéaire", application de H dans définie par :
pour tout ket |y>, <x|y> = produit scalaire de x et y. Autrement dit, c'est la projection orthogonale de y sur x.

[DarK MaLaK]

Tout d'abord merci de votre aide à tous les deux.

Ton espace de Hilbert H est constitué de vecteurs, également appelés ket et notés |x>. Un bra <x| n'est pas un vecteur mais une "forme linéaire", application de H dans définie par :
pour tout ket |y>, <x|y> = produit scalaire de x et y. Autrement dit, c'est la projection orthogonale de y sur x.

C'est bien ce que j'avais compris alors sur ce point. Sauf qu'en physique quantique, on peut apparemment décrire l'état par un ket comme par son bra associé...

Salut,

Pour commencer, il est peut être plus facile de voir ça sous l'angle "espace préhilbertien complet" ? On peut se ramener à 3 choses simples donc :

- espace vectoriel normé
- la norme provient d'un produit scalaire (cf. l'identité du parallélogramme).
- il est complet

Bref, 3 propriétés qui donnent des espaces "bisounours" ou "la plupart des choses" se passent "bien" (notez les guillemets )
Si on est pas trop tatillon, notre perception du monde se colle bien à la notion d'espace de Hilbert

Merci, mais je trouve des termes un peu plus compliqués en cherchant sur internet, d'autant plus qu'ils sont définis à l'aide de termes que je ne connais pas, eux-mêmes définis par d'autres termes que je ne connais pas.

Par exemple, il semble que les espaces de Hilbert utilisés en physique quantique doivent être séparables pour qu'on puisse trouver des bases. "En fait, tout espace de Hilbert séparable est isomorphe à L²." (phrase de Wikipédia qui me semble en accord avec le fait que les fonctions d'onde doivent être de carré sommable). Je n'ai pas compris pourquoi, car je ne vois pas bien ce que signifie "séparable".

Or, en cherchant sur Wikipédia toujours, je trouve ceci : "En mathématiques, et plus précisément en topologie, un espace séparable est un espace topologique contenant un sous-ensemble dénombrable et dense, c'est-à-dire contenant un ensemble dénombrable de points dont l'adhérence est égale à l'espace topologique tout entier."

Et je ne connais pas (ou j'ai oublié) le sens de plusieurs mots. Dénombrable, pour moi c'est un espace contenant des entiers par exemple. L'article sur la densité d'un espace ne me paraît pas clair, ni celui sur l'adhérence. Or, ce n'est pas la première fois que je rencontre ces notions dans un livre ou un cours trouvé sur internet. Donc je pense qu'elles doivent être importantes et j'aimerais en avoir une autre définition si possible.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

La densité d'un ensemble U dans un ensemble E, c'est le fait que si tu prends un element e de E, il existe toujours un element u de U aussi pres que tu veux de e. On peut aussi dire que tout element de E est la limite d'une suite d'éléments de U

R est separable car Q est denombrable, et tout nombre réel est la limite d'une suite de nombres rationnels.

[DarK MaLaK]

Salut Tryss, je n'ai pas compris ta définition par rapport aux suites. Si je prends 1/3 ou pi, de quelle manière je peux les approcher par une suite de nombres rationnels, et surtout, comment je sais que ça marchera pour tout nombre réel ?

[invited5b2473a]

Par exemple, il semble que les espaces de Hilbert utilisés en physique quantique doivent être séparables pour qu'on puisse trouver des bases. "En fait, tout espace de Hilbert séparable est isomorphe à L²." (phrase de Wikipédia qui me semble en accord avec le fait que les fonctions d'onde doivent être de carré sommable). Je n'ai pas compris pourquoi, car je ne vois pas bien ce que signifie "séparable".

Tu as besoin du caractère L² car tes fonctions d'onde doivent vérifier , condition ayant un véritable sens physique!

[inviteea028771]

Tu peux approcher aussi près que tu veux un nombre réel par son developpement décimal a n décimales par exemple.

Après le "pourquoi" c'est toujoours vrai, ça découle de la construction de R (non triviale).

http://fr.wikipedia.org/wiki/Constru...res_r%C3%A9els

[DarK MaLaK]

Tu as besoin du caractère L² car tes fonctions d'onde doivent vérifier , condition ayant un véritable sens physique!

Oui c'est ce que je dis (avec d'autres mots) dans le message que tu cites. Ce que je ne comprends pas, c'est le rapport entre espace séparable et espace isomorphe à L²...

[invite57a1e779]

Ce que je ne comprends pas, c'est le rapport entre espace séparable et espace isomorphe à L²...

Tous les espaces de Hilbert séparables sont isomorphes entre eux.

[invited73f5536]

Bonjour.

Dénombrable, pour moi c'est un espace contenant des entiers par exemple.

Non. (et c'est étonnant que personne ne l'ai remarqué)
Un ensemble est dit dénombrable s'il est fini, ou s'il peut-être mis en bijection avec .
En d'autres termes, ça veut dire qu'on peut énumérer tous ses éléments. Par exemple, et sont dénombrables, mais ne l'est pas. (ce n'est pas complétement évident)

On peut démontrer qu'un espace de Hilbert séparable est (isométriquement) isomorphe à . Ca signifie qu'il existe une application linéaire, bijective, et isométrique (qui préserve la norme, ou de manière équivalente, le produit scalaire) entre et .

Par exemple, est un espace de Hilbert séparable, et la transformée de Fourier est un isomorphisme entre et .

[DarK MaLaK]

Un ensemble est dit dénombrable s'il est fini, ou s'il peut-être mis en bijection avec .
En d'autres termes, ça veut dire qu'on peut énumérer tous ses éléments. Par exemple, et sont dénombrables, mais ne l'est pas. (ce n'est pas complétement évident)

C'est de nouveau ce que je voulais dire, et je suppose que les autres l'avaient compris comme ça. Mais je te remercie d'y remettre un peu de rigueur.

On peut démontrer qu'un espace de Hilbert séparable est (isométriquement) isomorphe à . Ca signifie qu'il existe une application linéaire, bijective, et isométrique (qui préserve la norme, ou de manière équivalente, le produit scalaire) entre et .

Par exemple, est un espace de Hilbert séparable, et la transformée de Fourier est un isomorphisme entre et .

Cette démonstration est-elle trop longue pour que tu me la donnes ici ? Elle m'aiderait bien car j'ai toujours du mal à voir clair dans cet isomorphisme entre des espaces qui me paraissent fort différents. De plus, je ne comprends pas bien ton exemple sur la transformée de Fourier. Pour moi, elle permet de passer d'une base à une autre en physique quantique, de passer de temporel à fréquentiel en électronique, etc. Y a-t-il un rapport entre ce que je dis et l'isomorphisme dont tu parles ?



Finalement, j'ai une nouvelle question sur quelque chose que j'ai lu aujourd'hui et qui m'a étonné. Je ne savais pas qu'on pouvait multiplier des espaces (de Hilbert) entre eux. Or, dans mon livre, les auteurs ont défini un produit tensoriel entre des espaces et je suis perdu... Je ne connaissais le produit tensoriel que pour des matrices ou bien dans le cadre de la physique des matériaux. Ici, il permet de créer un nouvel espace pour passer d'une étude à une dimension vers une étude à deux dimensions d'un même problème. J'avoue que je ne comprends ni pourquoi ni comment, ni même la nature de ce produit tensoriel.

[invité576543]

Cette démonstration est-elle trop longue pour que tu me la donnes ici ? Elle m'aiderait bien car j'ai toujours du mal à voir clair dans cet isomorphisme entre des espaces qui me paraissent fort différents.

Vois-tu qu'un espace vectoriel réel de dimension n est isomorphe à l'ensemble des fonctions de {1, 2, ..., n} vers R ? Et qu'une base est un tel isomorphisme ?

Par exemple, parler d'un triplet de réels, c'est la même chose que parler d'une fonction de {1,2,3} dans R.

Parler d'un isomorphisme entre un espace vectoriel et les fonctions de N vers R, c'est comme dire qu'il a "une base dénombrable".

[DarK MaLaK]

Salut, Michel (mmy).

Vois-tu qu'un espace vectoriel réel de dimension n est isomorphe à l'ensemble des fonctions de {1, 2, ..., n} vers R ? Et qu'une base est un tel isomorphisme ?

Par exemple, parler d'un triplet de réels, c'est la même chose que parler d'une fonction de {1,2,3} dans R.

Non. Ton exemple sur la base me semble assez parlant mais pas le deuxième sur le triplet de réels.

Parler d'un isomorphisme entre un espace vectoriel et les fonctions de N vers R, c'est comme dire qu'il a "une base dénombrable".

Alors pour l'espace de Hilbert (en physique), un tel isomorphisme ne pourra exister que dans le cas fini ? Dès qu'on transforme les sommes en intégrales, on ne peut plus parler d'isomorphisme avec des fonctions de N vers H ? Mais on peut parler d'un isomorphisme des fonctions de R vers H peut-être ?

[invité576543]

Non. Ton exemple sur la base me semble assez parlant mais pas le deuxième sur le triplet de réels.

Si j'écris (plus correctement!) :

Par exemple, parler d'un élément pris dans les triplets de réels (dans l'espace vectoriel R³), c'est la même chose que parler d'une fonction prise parmi les fonctions de {1,2,3} dans R. I.e., R³ est isomorphe aux fonctions de {1,2,3} dans R.

est-ce plus clair ?

Alors pour l'espace de Hilbert (en physique), un tel isomorphisme ne pourra exister que dans le cas fini ?

Je parlais explicitement d'une base dénombrable, donc éventuellement infinie.

Je cherchais juste à expliquer que Rⁿ était isomorphe aux fonctions de {1...n} dans R, et de même un espace vectoriel admettant une base dénombrable infinie était isomorphe aux fonctions de N dans R.

[invite1e1a1a86]

Finalement, j'ai une nouvelle question sur quelque chose que j'ai lu aujourd'hui et qui m'a étonné. Je ne savais pas qu'on pouvait multiplier des espaces (de Hilbert) entre eux. Or, dans mon livre, les auteurs ont défini un produit tensoriel entre des espaces et je suis perdu... Je ne connaissais le produit tensoriel que pour des matrices ou bien dans le cadre de la physique des matériaux. Ici, il permet de créer un nouvel espace pour passer d'une étude à une dimension vers une étude à deux dimensions d'un même problème. J'avoue que je ne comprends ni pourquoi ni comment, ni même la nature de ce produit tensoriel.

En physique, tout les espaces vectoriels nécessaires ont une base dénombrable (indexée par ) infini ou finie.

Si je prend deux espaces vectoriels E et F de base et (on pourrait prendre aussi des espaces de dimensions finies, cela ne changerai rien)

alors, je peux construire un espace vectoriel "plus grand" en utilisant la base: en utilisant les propriétés "naturelles" d'additions, multiplications:



Si je partais de deux espaces de dimensions respectivement n et m, j'obtient un espace de dimension nm

après, par exemple en physique, si je veux étudier l'intéraction entre deux objets (disons 2 spins 1/2 qui "vivent" chacun dans un espace de dimension 2) , il faut (c'est la M.Q. qui veut ça...) travailler dans l'espace produit tensorielle et donc un espace de dimension 4 (=2*2)
si j'avait 3 spins 1/2 => dimension 8 etc etc...(et donc ça monte très/trop vite)

C'est bien ce que j'avais compris alors sur ce point. Sauf qu'en physique quantique, on peut apparemment décrire l'état par un ket comme par son bra associé...

En physique, on est friand de raccourci (en maths aussi des fois...). la notation braket permet de comprendre avec les mains et de faire des calculs très rapidement et "simplement" (disons que cette notation rend les calculs "intuitifs"). mais il faut bien comprendre que même si et correspondent au même état en physique . l'un est un état (), un vecteur de l'espace vectoriel considéré et l'autre est une forme linéaire (), sur ce même espace. mais grace à l'isomorphisme qu'il y a entre les deux, à savoir:

Ton espace de Hilbert H est constitué de vecteurs, également appelés ket et notés |x>. Un bra <x| n'est pas un vecteur mais une "forme linéaire", application de H dans définie par :
pour tout ket |y>, <x|y> = produit scalaire de x et y. Autrement dit, c'est la projection orthogonale de y sur x.

je peux passer de l'un à l'autre sans problème (et sans ambiguité).

Si il y'a des questions dans ce fil qui n'ont pas été (assez) éclairci, n'hesite pas à les quoter pour qu'on puisse (mieux) te répondre.

[DarK MaLaK]

Citation:
Alors pour l'espace de Hilbert (en physique), un tel isomorphisme ne pourra exister que dans le cas fini ?
Je parlais explicitement d'une base dénombrable, donc éventuellement infinie.

Je cherchais juste à expliquer que Rn était isomorphe aux fonctions de {1...n} dans R, et de même un espace vectoriel admettant une base dénombrable infinie était isomorphe aux fonctions de N dans R.

Désolé, ce dont je parlais faisait partie du chapitre sur l'espace de Hilbert en dimension infinie et je me suis trompé de mot. Je réécris donc ma question pour voir si elle a un sens avec le bon mot.

Alors pour l'espace de Hilbert (en physique), un tel isomorphisme ne pourra exister que dans le cas discret ? Dès qu'on transforme les sommes en intégrales, on ne peut plus parler d'isomorphisme avec des fonctions de N vers H ? Mais on peut parler d'un isomorphisme des fonctions de R vers H peut-être ?

Par ailleurs, je n'arrive toujours pas à comprendre ce que tu veux dire dans cette phrase :

Par exemple, parler d'un élément pris dans les triplets de réels (dans l'espace vectoriel R3), c'est la même chose que parler d'une fonction prise parmi les fonctions de {1,2,3} dans R. I.e., R3 est isomorphe aux fonctions de {1,2,3} dans R.

La fonction dont tu parles est une fonction bien précise ? C'est une fonction différente pour chaque valeur du triplet de R3 ?

Cependant, avec l'exemple de la base, j'ai une nouvelle question : est-ce la notion d'isomorphisme qui permet d'obtenir la notion de "représentation" d'un objet mathématique ? Par exemple, le fait qu'un vecteur se représente avec des coordonnées différentes suivant la base ou le type de coordonnées choisies découle-t-il du fait que toutes ces bases/coordonnées sont des isomorphismes ?

Si il y'a des questions dans ce fil qui n'ont pas été (assez) éclairci, n'hesite pas à les quoter pour qu'on puisse (mieux) te répondre.

c'est la M.Q. qui veut ça...

Je n'ai pas bien compris pourquoi (je n'ai vu aucun exemple concret pour l'instant, c'est peut-être pour ça aussi...).

Et pour la multiplication et l'addition : si je prends des espaces contenant des vecteurs en dimension n, l'espace produit tensoriel contiendra-t-il des matrices ou des vecteurs plus "longs" ?

[invite1e1a1a86]

Et pour la multiplication et l'addition : si je prends des espaces contenant des vecteurs en dimension n, l'espace produit tensoriel contiendra-t-il des matrices ou des vecteurs plus "longs" ?

à toi de voir.
Si je prend deux espaces de dimension n (E et F) et que je note G l'espace produit.
G est de dimension n² et je peux voir G comme un espace de matrice (de taille n par n) ou alors comme un espace de vecteur (de taille n²). après tout, la multiplication par un scalaire et l'addition est la même sur ces deux espaces.
après, ça dépendra de la "commodité physique" mais la plupart (toujours? je ne me souviens pas d'avoir utilisé des matrices) du temps on utilise des vecteurs plus long (de taille n²) ici et les matrices sont utilisés pour les applications linéaires. il est alors "facile" de comprendre certaines applications linéaires que je peux mettre sous la forme avec A et B des matrices
(et mais tu verras sûrement ça en cours (? je ne sais pas a quel niveau de ton cursus tu te situes).

et pour la "c'est la M.Q. qui veut ça", dans ma façon de voir le cours, il s'agit de l'un des postulats initiaux...

[invité576543]

Par ailleurs, je n'arrive toujours pas à comprendre ce que tu veux dire dans cette phrase :

La fonction dont tu parles est une fonction bien précise ? C'est une fonction différente pour chaque valeur du triplet de R3 ?

J'essaye de dire quelque chose de peut-être bien plus simple que tu ne penses.

Prendre un triplet de réels (x1, x2, x3) c'est une juste une écriture particulière de la fonction f : {1,2,3} vers R, telle que f(1)=x1, f(2)=x2 et f(3)=x3.

L'isomorphisme entre R3 et les fonctions de (1,2,3) vers R est quasiment une convention d'écriture.

[R³ peut être vu comme un cas particulier de l'écriture E^F des fonctions d'un ensemble F vers un ensemble E, avec comme convention supplémentaire que 3 représente l'ordinal 3, c'est à dire l'ensemble {0,1,2}, qui est isomorphe à {1,2,3}. De même 2^N sont les fonctions de N dans {0,1}, c'est à dire les sous ensembles de N.]

L'idée est que voir les triplets comme des fonctions devrait permettre de voir la généralisation qui dit qu'un espace vectoriel réel à base dénombrable est isomorphe aux fonctions de N dans R (aux suites de réels).

---

Il y a une infinité de tels isomorphismes, et le plus souvent aucun canonique. Choisir une base est équivalent à choisir un tel isomorphisme. La fonction correspond au k-ième vecteur de la base est celle qui à tout entier donne 0 sauf pour k, pour lequel la fonction rend 1.

[DarK MaLaK]

Bon, je vais essayer de résumer ce que j'ai compris et ce que je n'ai toujours pas compris, après relecture du topic.


Ce que je pense avoir compris :

Un espace séparable E est un espace qui contient un espace F dénombrable et dense. Par conséquent, l'espace qu'il contient est en bijection avec l'ensemble des nombres entiers naturels. Et c'est là que je ne vois pas comment on peut en déduire que E est isomorphe à un autre espace, même si le fait que F soit dénombrable me semble important pour trouver des bases dénombrables... Donc je cite de nouveau ce message :

On peut démontrer qu'un espace de Hilbert séparable est (isométriquement) isomorphe à . Ca signifie qu'il existe une application linéaire, bijective, et isométrique (qui préserve la norme, ou de manière équivalente, le produit scalaire) entre et .

Par exemple, est un espace de Hilbert séparable, et la transformée de Fourier est un isomorphisme entre et .

... afin de savoir s'il existe une démonstration claire qui me permettrait de faire le lien entre les deux notions.


Grâce à ton dernier message, Michel (mmy), je pense avoir mieux mieux compris ce que tu voulais me dire, mais ça reste assez flou, alors je vais détailler pour que tu puisses me reprendre là où je me trompe.

Prendre un triplet de réels (x1, x2, x3) c'est une juste une écriture particulière de la fonction f : {1,2,3} vers R, telle que f(1)=x1, f(2)=x2 et f(3)=x3.

Si je comprends bien, on peut aussi prendre {4,5,6} comme ensemble de départ, car ce ne sont pas les chiffres qui importent mais la dimension. On va donc définir une fonction qui nous arrange pour passer de cet ensemble vers une représentation d'un vecteur de , donc une base. On pourrait définir également une infinité de fonctions de ce type qui nous donneraient des valeurs différentes de . Donc, il existe une fonction différente pour chaque vecteur de ?

Il y a une infinité de tels isomorphismes, et le plus souvent aucun canonique. Choisir une base est équivalent à choisir un tel isomorphisme. La fonction correspond au k-ième vecteur de la base est celle qui à tout entier donne 0 sauf pour k, pour lequel la fonction rend 1.

Et là je me pose une autre question : si on définit une nouvelle fonction (un nouvel isomorphisme), elle peut représenter le même vecteur vu d'une autre base ou un vecteur différent dans la même base...

Logiquement, d'après ce que tu dis, c'est la première idée qui est la bonne. Par conséquent, je me demande comment on définit un nouveau vecteur (différent du premier) à l'aide de notre isomorphisme f.


Par ailleurs, en ce qui concerne le produit tensoriel, je pense avoir bien compris l'idée générale mais certains points demeurent obscurs. Notamment :

il est alors "facile" de comprendre certaines applications linéaires que je peux mettre sous la forme avec A et B des matrices
(et mais tu verras sûrement ça en cours (? je ne sais pas a quel niveau de ton cursus tu te situes).

Je ne suis pas sûr que je verrai ça en cours, et je n'ai pas compris comment on obtient cette égalité (qui se trouve également dans mon livre, où A et B sont des opérateurs).

Enfin, par rapport au fait que ce produit tensoriel d'espaces est un postulat de la mécanique quantique, je crois avoir l'explication dans mon livre dans le premier paragraphe du chapitre, mais je ne la comprends pas. Je vais donc vous la recopier en soulignant la phrase qui me pose problème :

"Pour une particule en mouvement à une dimension le long d'un axe x, l'espace de Hilbert est , dont une base est constituée par les fonctions de Hermite . Considérons maintenant une particule en mouvement dans un plan xy. L'espace de Hilbert approprié est , constitué des fonctions de carré sommable. Une base hilbertienne de est constituée par l'ensemble . En d'autres termes, toute fonction de peut se décomposer sous la forme :

"


Voilà je ne comprends pas vraiment comment on trouve cette base. Or, la dernière formule est généralisée à l'aide de kets pour définir le produit tensoriel. Plus loin, il est question de degrés de liberté d'une particule en mouvement, et c'est peut-être également là qu'intervient le postulat...

Ce qui m'étonne, c'est qu'un tenseur semble être la multiplications de deux kets, mais il est dit assez clairement que ce tenseur est lui-même un ket. Est-ce normal du point de vue mathématique ? A ma connaissance, un tenseur ne peut plus se représenter comme un vecteur ou une matrice à partir d'un certain nombre de dimensions.


Voilà, j'ai d'autres questions que j'ai oubliées pour l'instant et je dois m'arrêter là car j'ai un problème avec mon ordinateur, qui fait qu'il va bientôt redémarrer.

[invité576543]

Un espace topologique séparable E est un espace topologique qui contient un sous-ensemble F dénombrable et dense. Par conséquent, ce sous-ensemble qu'il contient est en bijection avec l'ensemble des nombres entiers naturels.

OK, avec les modification de détail en rouge.

Si je comprends bien, on peut aussi prendre {4,5,6} comme ensemble de départ, car ce ne sont pas les chiffres qui importent mais la dimension.

Le cardinal de l'ensemble, oui, qu'on appelle la dimension.

On va donc définir une fonction qui nous arrange pour passer de cet ensemble vers une représentation d'un vecteur de , donc une base. On pourrait définir également une infinité de fonctions de ce type qui nous donneraient des valeurs différentes de . Donc, il existe une fonction différente pour chaque vecteur de ?

Oui, à chaque vecteur correspond une telle fonction et à chaque telle fonction correspond un vecteur, une fois une base choisie.

Et là je me pose une autre question : si on définit une nouvelle fonction, elle peut représenter le même vecteur vu d'une autre base ou un vecteur différent dans la même base...

Logiquement, d'après ce que tu dis, c'est la première idée qui est la bonne.

(J'ai viré "(un nouvel isomorphisme)", impropre.)

Les deux sont bonnes ! La première correspond à un changement de coordonnées d'un vecteur par changement de base (donc à un isomorphisme différent entre l'espace vectoriel et l'espace des fonctions). La seconde juste à l'application d'un isomorphisme.

Une base <=> un isomorphisme entre l'espace vectoriel et l'espace des fonctions de {1,2,3} dans R.

Par conséquent, je me demande comment on définit un nouveau vecteur (différent du premier) à l'aide de notre isomorphisme f.

f n'est pas l'isomorphisme, f est un élément de l'espace des fonctions de {1,2,3} dans R.

[invited73f5536]

... afin de savoir s'il existe une démonstration claire qui me permettrait de faire le lien entre les deux notions.

Il faut d'abord comprendre comment les choses se passent en dimension finie, telles qu'on les voit dans un cours d'algèbre linéaire élémentaire.
Si est par exemple un espace vectoriel de dimension 3, on souhaite montrer qu'il est isomorphe à .
Pour cela, on se donne une base de . On définit notre isomorphisme par , et , et on prolonge ça par linéarité. On obtient une application linéaire, qui est bijective.

Maintenant, si est un espace de Hilbert séparable, de dimension infinie, on souhaite trouver un isomorphisme avec .
On se donne une base de Hilbert dénombrable de . (une telle base existe toujours, on la construit à partir du procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt)
Et on répète la même opération qu'en dimension finie.
On pose , , ..., , ... puis on prolonge par "linéarité".
On obtient là encore une application linéaire bijective, et en plus elle préserve le produit scalaire.

Lorsque j'ai parlé de la transformée de Fourier (la petite TF, c'est-à-dire celle qui concerne les séries), c'était juste pour donner un exemple mathématique, je ne faisais pas du tout mention de son interprétation physique.
On sait que est un espace de Hilbert séparable (avec le produit scalaire ), et qu'une base de Hilbert de cet espace est donnée par les fonctions , avec .
L'opération que j'ai décrite plus haut, qui fournit un isomorphisme entre et n'est rien d'autre que la "petite" transformation de Fourier, qui à une fonction associe sa suite des coefficients de Fourier, qui appartient à .
Le fait que cette application préserve le produit scalaire et la norme est traduite par la célèbre formule de Parseval.

[invite1e1a1a86]

Je ne suis pas sûr que je verrai ça en cours, et je n'ai pas compris comment on obtient cette égalité (qui se trouve également dans mon livre, où A et B sont des opérateurs).

C'est une definition. Disons simplement qu'il est facile a partir de deux espaces vectoriels d'en construire un troisième plus grand qui "contiendrait la physique" des deux premiers. je vais donner un exemple.
soit l'espace vectoriel et

alors l'espace produit est

dans cet espace, je vois que certains vecteurs peuvent être écrit

il s'agit des états produits (=non intriqués)
mais tous ne peuvent se mettre sous cette forme, par exemple:

Ce sont les états intriqués (le système 1 et le système 2 ont mutuellement une influence, le système 1 ne peut être isolé du système 2)

Ainsi, avoir créé cet espace plus gros créé aussi ce phénomène d'intriquation.
Après, si j'agit sur le système 1 (par exemple une expérience de type Stern-Gerlach sur un spin 1/2) avec l'operateur U
dans l'espace produit, cet operateur s'écrit:
car son influence sur un ket est:

c'est-à-dire l'opérateur U sur le système 1 et rien (je n'y touche pas) sur le système 2.
Mais, il existe aussi des operateurs qui agissent sur le 1 et sur le 2 indépendamment (de la forme ) mais aussi d'autre qui ne peuvent se décomposer de cet manière et qui peuvent créer de l'intriquation...
En gros, le produit tensoriel permet de créer un espace qui contient la physique des deux plus petits espaces...mais qui en rajoute encore plus (l'intriquation!).

Enfin, par rapport au fait que ce produit tensoriel d'espaces est un postulat de la mécanique quantique, je crois avoir l'explication dans mon livre dans le premier paragraphe du chapitre, mais je ne la comprends pas. Je vais donc vous la recopier en soulignant la phrase qui me pose problème :

"Pour une particule en mouvement à une dimension le long d'un axe x, l'espace de Hilbert est , dont une base est constituée par les fonctions de Hermite . Considérons maintenant une particule en mouvement dans un plan xy. L'espace de Hilbert approprié est , constitué des fonctions de carré sommable. Une base hilbertienne de est constituée par l'ensemble . En d'autres termes, toute fonction de peut se décomposer sous la forme :

"


Voilà je ne comprends pas vraiment comment on trouve cette base. Or, la dernière formule est généralisée à l'aide de kets pour définir le produit tensoriel. Plus loin, il est question de degrés de liberté d'une particule en mouvement, et c'est peut-être également là qu'intervient le postulat...

Il s'agit de mathématique ici. Une base des fonctions de carrées sommables de deux variables l'ensemble écrit plus haut (Il faudrait demander à un "vrai" matheux la démonstration mais elle doit être similaire a celle du cas à une dimension....).

Ce qui m'étonne, c'est qu'un tenseur semble être la multiplications de deux kets, mais il est dit assez clairement que ce tenseur est lui-même un ket. Est-ce normal du point de vue mathématique ? A ma connaissance, un tenseur ne peut plus se représenter comme un vecteur ou une matrice à partir d'un certain nombre de dimensions.

Ce n'est pas tout à fait une multiplication.
Si je pars de l'espace Fruit avec une base {banane, pomme}
et de l'espace légume avec pour base {brocoli, chou}

alors j'obtient un espace de vecteurs fruit et légume avec pour base:
{banane&brocoli, pomme&brocoli, banane&chou, pomme&chou}
après la dimension (dans quel sens d'ailleurs? "l'unité"? si c'est le cas oui, on a bien l'unité = le produit des deux unités de départ) reste un vecteur.
après tout, le produit de deux fonctions d'une variable (que l'on peut voir comme un un produit tensoriel de deux vecteurs de l'espace des fonctions d'une variable) donne une fonction de deux variables (que l'on peut voir comme un vecteur de l'espace des fonctions de deux variables).