Calcul du volume de liquide dans un réservoir en fonction de la hauteur de liquide

[invited7748c90]

Bonjour,

Je me suis proposé de résoudre la problématique suivante proposé par un collègue de travail:

Celui-ci possède un chauffe eau et il aurait aimé savoir le volume d'eau à l'intérieur du chauffe eau en fonction de la hauteur d'eau relevée dans la cuve qui est horizontale.

La cuve est de forme cylindrique avec deux arrondis à ses extrémités.

Nous avons donc pour résoudre ce problème 3 paramètres:

L: La longeur du cylindre
R: le rayon du cylindre
r : la largeur de l'élipse formant l'arrondi de la cuve

et à priori une variable :

y : la hauteur de liquide dans la cuve.

On cherche donc v(y).

J'ai déjà obtenu les formules permettant de déterminer le volume sur un site internet qui nous donne:

V_demi_élipse (y) = ( Pi * r * ( 3*R-y)*y²)/(3*R)

V_cylindre (y) = L ( racine ((2R-y)*y) * (y-R) + R² arccos( 1 - y/R))

Voici le site source :

http://vps.arachnoid.com/TankCalc/

Mon objectif serait d'arriver à retrouver ces deux formules par le calcul.

A priori, je dois utiliser la formule :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_multiple

Par contre je n'arrive pas à réaliser l'intégration.

Je souhaiterais commencer par la portion de cylindre:

cylindre rempli.jpg

cylindre partiellement rempli.jpg

Je pense que je peux définir mon domaine D de la manière suivante :

D ={ (x,y)| x² + (y-r)² < R² , 0 < y < Y } avec Y ma hauteur de remplissage.

schéma.jpg

Une fois ces conditions obtenu, je ne sais pas comment les utiliser pour réaliser le calcul de l'aire qui me permettra d'obtenir le fameux volume.

J'en appelle donc aux sympatiques mathématiciens ou matheux qui souhaiteraient m'aider à résoudre ce problème.

Merci d'avance.

Anthony
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[breukin]

Pourquoi faire compliqué : la surface de la lunule, c'est la surface du secteur moins la surface du triangle (il vaut mieux prendre la hauteur inférieure au rayon pour commencer).
La surface du secteur, c'est , pour que ça fasse si .
Et bien sûr .
Quant à la surface du triangle, c'est bien sûr sa demi-base fois sa hauteur, soit .
Donc en multipliant par la longueur:
.

[invited7748c90]

Bonjour,

J'ai analysé ta réponse et je dois admettre que tu as tout à fait raison. Le calcul est en effet très simple dans sa décomposition en une portion de disque et un triangle.

Néanmoins, je serais quand même curieux de savoir comment le calculer à l'aide d'une intégrale. J'aimerais voir et comprendre la méthodologie à appliquer. Bien qu'il est probablement possible d'appliquer une méthode simple à bon nombre de cas comme tu viens de m'en faire la leçon.

En tout cas je proposerai cette solution très élégeante ç mon collègue.

Merci,

Anthony

[breukin]

Qui s'intègre par parties en posant

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited7748c90]

Bonjour,

Merci pour ta réponse.

Si je comprend bien tu pars de la formule x² + y² = R²
ce qui donnerait y = racine ( R² - x² )

et tu intègres de R/h à R pour que si h = 0 on a intégrale nulle et si h = R on a de -R à R.

tu multiplies ton intégrale par 2 car la solution obtenue est la moitié de la surface qui est symétirque. L'intégrale simple ne donnerait que la partie supérieure de la courbe.

Ai-je bien compris ton calcul?

u serait dans mon cas y.

Cordialement

Anthony

[invite8eaf9896]

Up!

Je ne comprend pas comment tu passe de à .

[breukin]

en faisant un changement de variable u=Rt

[invite2670070f]

merci! j'ai essayé mais je bloque par la suite:

u=RACINE(1-t^2) & v'=1




Pour intégrer je pose t=cos(t) & dt=-sint(t)

donne sin(t) en bas et s'annule avec le dt= -sin(t) en haut

Donc



et tout à la fin je me retrouve avec du

avec a= 1-H/R

la réponse devrait être du type (source http://debart.pagesperso-orange.fr/t...ale.html#ch2):

Si je pose t=cos(t) les bornes de l'intégrale qui était de 1 à a-H/R devrait être de cos(1) à cos(1-H/R)??? je ne comprend pas d'ou sort le dans la réponse

[invite2670070f]

en faisant un changement de variable u=Rt

Bon j'ai totalement réussi, je te remercie.

Il y a cependant une étape que je n'ai pas compris:

quand tu fais u=Rt on factorise les R^2 dans la Racine, donc il ne devrait pas être au carré en dehors de la racine?

Cordialement,

[breukin]

Oui, mais il y en a un deuxième, dû au changement de variable, justement.

[invite2670070f]

merci encore, j'avais oublié le "du"