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Algèbre linéaire - Complexes



  1. #1
    PiHd

    Algèbre linéaire - Complexes


    ------

    Bonjour,

    Je bloque totalement sur 2 points à propos des complexes:

    1.Comment résoudre dans C l'équation: iz2 + (1-5i)z + 6i - 2 = 0
    Lorsque je dois résoudre dans C des équations du second degré j'utilise cette méthode mais je ne vois pas comment l'appliquer sur ce cas là (avec les i).
    2. Comment écrire sous forme trigonométrique un nombre complexe z comportant des racines tel que: z =

    Je vous remercie énormément et vous souhaite une bonne fin de journée

    -----

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  3. #2
    jobherzt

    Re : Algèbre linéaire - Complexes

    1) je ne vois pas ce qui te gene... calcule ou a,b,c sont les coeffs complexes de ton equation, comme dans le cas reel. La seule petite difficulté c'est ensuite d'en trouver une racine carrée, mais commence par ca.
    2) il faut connaitre les valeurs des cos/sin les plus courantes. reecrit , connais tu un angle tel que et ?

  4. #3
    PiHd

    Re : Algèbre linéaire - Complexes

    Bonjour,

    Je vous remercie pour votre réponse.

    1. Là ou je bloque c'est d'abord avec le (1-5i) qui serait donc le b si je comprend bien c'est ça? Ce qui donnerai donc:
    C'est bien cela?
    Si oui pourrait on dire que cela donne:
    ?

    2. et c'est bien cela? Ne les connaissant pas j'ai reussi a trouver le cos dans un livre et le sin avec arcsin!

  5. #4
    jobherzt

    Re : Algèbre linéaire - Complexes

    1) bah non, pourtant c'est pas comliqué, faut juste lire les coeffs a=i, b=1-5i et c=6i-2, ce sont des nombres complexes... Ensuite tu developpes, en te souvenant que !

    2) la c'est evident que tu dois avoir le meme angle dans les deux expressions, on te demande de trouver un angle tel que etc..

    Et surtout pas une valeur numerique... Combient fait ? et est ce que la valeur numerique que tu trouves, genre mettons -45 degré, ne ferait pas par le plus grand des hasards radian ?

    accessoirement tu dois bien connaitre , ensuite faut se souvenir que ..

  6. #5
    PiHd

    Re : Algèbre linéaire - Complexes

    1. J'ai tout repris!







    Est ce mieux?

    2. Alors avec ma calculette j'ai trouvé:
    deg et rad.
    rad.
    Je ne vois toujours pas comment faire... je suis désolé je ne suis pas très doué il faut le dire

    Merci encore!
    Dernière modification par PiHd ; 31/08/2010 à 17h33.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    jobherzt

    Re : Algèbre linéaire - Complexes

    Citation Envoyé par PiHd Voir le message
    1. J'ai tout repris!







    Est ce mieux?
    Oui, sauf que c'est un -10i, il y a une faute de signe, donc le resultat c'est -2i. Reste a en trouver une racine carrée.
    2. Alors avec ma calculette j'ai trouvé:
    deg et rad.
    rad.
    Je ne vois toujours pas comment faire... je suis désolé je ne suis pas très doué il faut le dire
    C'est pas une question d'etre doué, mais tu te doutes bien qu'on te demande des valeurs exactes, et tu te doutes aussi que je n'ai pas posé cette question au hasard... Accessoirement un cosinus c'est un nombre, c'est l'angle qui est en degré ou en radian, pas la valeur du cosinus.

    Tu sais :
    - que (tu l'as ecrit)
    - que cos(-x)=cos(x)....

    Je te laisse conclure.

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  10. #7
    PiHd

    Re : Algèbre linéaire - Complexes

    1. J'ai beau refaire les calculs je ne vois pas où se trouve la faute de signe. Pourriez vous me la montrer s'il vous plait? J'ai cherché les racines carrés de -2i et j'ai trouvé 1-i et -1+i.

    2. J'ai une fois de plus repris tout au propre et cela me donne:

    donc:




    donc:

    C'est ça?

  11. #8
    jobherzt

    Re : Algèbre linéaire - Complexes

    Ok pour le complexe.

    Pour le signe attention !!! Il ne faut pas melanger les identités remarquables.

    - soit tu appliques la formule avec a=1 et b=(-5i)
    - soit tu appliques la formule avec a=1 et b=5i

    Evidemment ce ne sont que deux maniere de voir la meme formule. Mais toi tu as melangé les deux, ce qui fait que tu te retrouves avec -2*(-5i)=10i, la ou tu aurais du trouver -2*5i ou 2*(-5i) (qui donnent evnidemment la meme chose mais c'est pour bien montrer).

  12. #9
    PiHd

    Re : Algèbre linéaire - Complexes

    Merci énormément j'en prend tout de suite note!
    Pourriez vous me dire si le point numéro 2 est aussi bon?

    Merci pour votre patience!

  13. #10
    PiHd

    Re : Algèbre linéaire - Complexes

    Merci énormément j'en prend tout de suite note!
    Pourriez vous me dire si le point numéro 2 est aussi bon?

    Merci pour votre patience

  14. #11
    jobherzt

    Re : Algèbre linéaire - Complexes

    Oui, j'avais commencé par ca, un peu rapidement certes, mais j'avais dit "c'est bon pour le complexe"

  15. #12
    PiHd

    Re : Algèbre linéaire - Complexes

    Je vous remercie énormément pour votre gentillesse.

    Pour le 1. je pense que la conclusion est:



    Si l'on remplace:


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  17. #13
    jobherzt

    Re : Algèbre linéaire - Complexes

    Ca me parait correct (a vue d'oeil) mais ca simplifie encore, a chaque fois le numerateur est un multiple de 2i.

  18. #14
    PiHd

    Re : Algèbre linéaire - Complexes

    Oui j'y pensais ce qui donne:


    Et:



    Encore merci

  19. #15
    PiHd

    Re : Algèbre linéaire - Complexes

    Comment pourrais je mettre sous forme trigonométrique:

    Car je ne trouve pas de cos ou sin commun sauf si je dis que :

    Mais la je ne vois pas comment calculer r, et .

    Il faudrait que j'arrive à calculer les racines 3èmes sous forme trigonométrique et je ne sais pas du tout comment m'y prendre.

    Merci

  20. #16
    jobherzt

    Re : Algèbre linéaire - Complexes

    salut,

    avant toute chose rappelle toi que le cos et le sin d'un angle doit etre compris entre -1 et 1, donc ne peut pas etre le cos de quelque chose ! Mettre un 2 en facteur n'est pas la methode universelle

    pourtant tu avais la bonne approche dans un de tes messages, il faut calculer le module de ton complexe qui te donnera r, cad . C'est ce r que tu mets en facteur, et la la theorie te dit que ce qui reste sera bien le cos et le sin de quelque chose. Tu peux deja deviner la réponse pour deux raisons : il y a des , et la partie reelle est egale a la partie imaginaire. Si tu penses a l'interpretation geometrique du module et de l'argument d'une part, de la partie reelle et imaginaire d'autre part, tu devrais voir tout de suite. Idem dans le cas precedent, la partie reelle etait l'opposée de la partie imaginaire..

    QUand tu manipules des cos et des sin, pour avoir l'intuition de ce qu'il se passe, gare en tete le cercle trigonometrique et n'hesite pas a en dessiner un sur un coin de brouillon quand tu reflechis : http://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle_trigonometrique

    ici puisque la partie reelle egale la partie imaginaire, ton nombre complexe se situe sur la droite y=x, cad celle qui passe "au milieu" des axes. donc l'angle qui correspond c'est visiblement "la moitié d'un quart de tour" si tu vois ce que je veux dire.

  21. #17
    PiHd

    Re : Algèbre linéaire - Complexes

    Merci pour vos réponses qui sont toujours précises! J'ai tout repris et j'aimerai votre avis:

    Un nombre complexe s'écrit:

    Alors:





  22. #18
    jobherzt

    Re : Algèbre linéaire - Complexes

    Citation Envoyé par PiHd Voir le message
    Pourquoi y a t il un '-' qui a apparu ? dans ta question, la partie imaginaire etait .

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  24. #19
    sebsheep

    Re : Algèbre linéaire - Complexes

    Citation Envoyé par PiHd Voir le message
    Merci pour vos réponses qui sont toujours précises! J'ai tout repris et j'aimerai votre avis:

    Un nombre complexe s'écrit:

    Alors:




    Presque, prend ton cercle trigo et place (grosso modo hein), le point (dont les coordonnées sont le cosinus et le sinus de l'angle que tu cherches).

    Quel est la mesure de l'angle xOM ? (attention au signe)

  25. #20
    PiHd

    Re : Algèbre linéaire - Complexes

    Il vaut 315°
    Alors que soit 45°!
    Donc sans cette erreur de signe le résultat est bon?

    Je vous remercie pour votre patience

  26. #21
    sebsheep

    Re : Algèbre linéaire - Complexes

    Citation Envoyé par PiHd Voir le message
    Il vaut 315°
    Alors que soit 45°!
    Donc sans cette erreur de signe le résultat est bon?

    Je vous remercie pour votre patience
    Pourquoi parles tu du point ?

    Et 315°, tu peux remarquer que c'est 360° - 45°. En passant tout ça en radians, ça fait .

    Et oui, sans l'erreur de signe, le résultat est bon (mais d'un côté, si on enlève toutes les erreurs, le résultat est bon, ça semble logique).

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