Intégrales exprimables grâce aux fonctions usuelles

[silk78]

Bonjour,

Si j'ai bien compris, à l'aide de la théorie de le Galois, on peut déterminer si une primitive peut-être exprimée grâce à des fonctions usuelles.
Imaginons que ce n'est pas le cas pour une certaine primitive F(x). Peut-on savoir si on peut exprimer les valeurs de certains points précis de F(x), en utilisant les fonctions et les lois usuelles ?

Par exemple, une primitive F(x) de e^-x² est donnée il me semble à l'aide de la fonction erreur erf, qui n'est pas exprimable à l'aide des fonctions usuelles. Cependant, on peut exprimer la limite de erf en l'infini, soit :

Avait-on un moyen de savoir que cette intégrale donnerait un résultat que l'on pourrait exprimer ainsi ?

Merci d'avance pour vos réponses.
Silk

PS : je viens de me rendre compte, qu'il faudrait en plus de définir nos fonctions et nos lois usuelles, définir les nombres que l'on a droit de "manipuler", du genre l'ensemble des entiers, e, pi, etc ... du coup je me dis qu'il y a peu de chance que ce soit possible, mais je demande quand même
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[Sexygillou]

Je ne comprends pas trop ta question...
D'un point de vue mathématique, une fonction "usuelle" n'a pas beaucoup de sens... C'est pratique pour des exos, pour manipuler les truc, mais au final, y'a pas de différence fondamentale entre un cosinus et la fonction erf. De même, pi est "remarquable" mais pas plus de e ou 1 pour un mathématicien...

Alors, le résultat est joli, mais à ma connaissance y'a aucune notion qui permet de qualifier le fait qu'il soit joli !

[silk78]

Hmm, à ce que j'ai compris, la théorie de Galois, en définissant un corps de fonctions élémentaires, permet de dire si la primitive d'une fonction construite à partir de ces fonctions élémentaires (et avec les lois d'addition, multiplication, division, composition ...) peut elle même être exprimables avec ces fonctions.

Le terme de fonction usuelle revient assez souvent dans les textes sur la théorie de Galois et ses utilisations : je pense qu'il s'agit d'un corps de fonction (totalement subjectif on est d'accord) que les mathématiciens ont considérées comme usuelles (ça doit être un truc du genre polynômes, fractions rationnelles, exponentielles, logarithmes, fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses, et peut-être quelques autres, bien qu'avec ça on obtient déjà beaucoup de fonctions).
Mais, là je me goure peut-être complétement, si un connaisseur pouvait m'éclairer je lui en serais gré.

Pour en revenir à ma question, on peut à la rigueur oublier le terme de fonctions usuelles et imaginer qu'on travaille sur un certain corps de fonctions élémentaires.

Ils existent des fonctions construites à partir de ce corps dont les primitives ne sont pas exprimables par ces fonctions.
Cependant ces primitives possèdent parfois des valeurs "remarquables", dans le sens où celles-ci peuvent-être exprimées grâce aux fonctions élémentaires (comme par exemple racine de pi/2 pour l'intégrale de e^(-x²)).

Ce que je me demandais, c'est si on peut savoir quelles valeurs vont être "remarquables" (dans ce sens) ? Et là où je me rends compte que ma question risque de poser problème c'est qu'en effet se pose les problème des nombres que l'on peut utiliser. Je suis tout à fait d'accord avec toi pour dire que pi ou e n'ont rien de plus mathématiquement qu'un quelconque réel aléatoire, mais je me demandais si en fixant les nombres "utilisables" pour exprimer les valeurs (un peu comme le fait qu'on travaille qu'avec un certain corps de fonctions), ça réglait le problème.
Je suis d'accord que c'est très tiré par les cheveux et que mathématiquement, je ne vois pas comment ça serait possible, mais je pose quand même la question, après tout, avant d'entendre parler de cette théorie de Galois, je ne pensais pas qu'on pouvait déterminer quelle primitive est exprimable ou pas.

Je sais pas, si j'ai été un peu plus clair, je l'espère.