Somme avec coefficient du binome

[invitee556df5c]

Bonsoir,
Veuillez m'aider SVP
question : calculer la somme avec k allant de 0 à n de : k * ("k parmi n")
autre question : calculer la somme avec k allant de 0 à n de : (1/k+1) * (k parmi n)
Merci
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[invite1e1a1a86]

pour la première, voici une méthode:
en posant
(que l'on peut simplifier avec une certaine formule...)

alors

pour la seconde, on peut s'en sortir en utilisant l'égalité:

qui se montre en passant avec l'écriture sous forme de factorielle des coefficients binomiaux.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,

Tes questions sont donc :

1) calculer

on sait que
ou alors
peut être l'une des deux sera utile

2) calculer ou

RoBeRTo

[invite1e1a1a86]

Bonjour,
2) calculer ou

RoBeRTo

Que vaut le premier terme de la somme de gauche (pour k=0) ?

sinon, n'a pas d'expression simple à ma connaissance (c'est-à-dire en utilisant les fonctions "usuelles").

[A voir en vidéo sur Futura]

[RoBeRTo-BeNDeR]

SchliesseB oula j'ai laissé passer çà, ^^ effectivement il se fait tard, je pense donc qu'il parlait de celle de droite
et sinon pour répondre à ta question ben celle de gauche elle ne vaut pas grand chose !!

(pas bête ta première solution ^^ )

[invite1e1a1a86]

(pas bête ta première solution ^^ )

Aucun mérité, c'est quelque chose que l'on fait 'souvent' pour calculer les différents moments de la loi binomiale en proba (la fonction f est alors nommé fonction génératrice des probabilités).


sinon je viens de "remarquer" (Mapple), mais je n'en suis pas sur, que

.
Si quelqu'un avait (un début de) une démo....

[RoBeRTo-BeNDeR]

Peut être en uilisant une somme de Riemann en remplaçant n! par GAMMA(n+1) (si je ne me trompe pas ) et son développement limité, ainsi que celui du terme de gauche mais je doute que çà aboutisse, que ce soit simple, que ce soit juste .

[invitee556df5c]

Il s'agissait en effet de celle de droite.
Sinon, décidément je ne m'en sors pas, même avec les indications de Roberto.
J'espère que c juste parce que c le début.

[Médiat]

Aucun mérité, c'est quelque chose que l'on fait 'souvent' pour calculer les différents moments de la loi binomiale en proba (la fonction f est alors nommé fonction génératrice des probabilités).


sinon je viens de "remarquer" (Mapple), mais je n'en suis pas sur, que

.
Si quelqu'un avait (un début de) une démo....

Etape simpliste :


Astuce banale :


La suite est simple

[invite1e1a1a86]

En fait pour

on a facilement (cf mon premier message)


et je m'etait posé la question hier soir (tard..):
que dire de :


et là, l'astuce ne marche plus

[invitee556df5c]

En fait pour

on a facilement (cf mon premier message)


et je m'etait posé la question hier soir (tard..):
que dire de :


et là, l'astuce ne marche plus

salut,
je n'arrive pas à calculer malgré toutes t indications, je te prie de bien vouloir me détailler comment tu trouves
(même avec la première je n'arrive pas à m'en sortir, je n'ai jamais vu ça c pour ça)

[invite9617f995]

Pour le calcul de S, une méthode est d'utiliser la formule donnée par SchliesseB dans son premier message:


Grâce à celle-ci, tu peux sortir la fraction 1/n+1 de la somme et en changeant la variable sur laquelle porte la somme, tu devrais retrouver le binôme de Newton pris pour un certain x, je te laisse trouver.

Une autre méthode ressemblerait à celle utilisée pour le 1) par SchliesseB. En notant :


Le calcul de de deux façon différentes devraient te permettre de conclure sur la valeur de S.

A mon avis, au vu du 1), je pense que la seconde méthode est peut-être plus adaptée.

Bonne chance,
Silk

[invite9617f995]

Désolé pour le double-post, mais je viens de penser à quelque chose pour la question de SchliesseB.

On a

Posons

On a g(x)=(e^x+1)ⁿ-1 par le binôme de Newton.

De plus, on a:


Donc :


Par contre, ensuite je ne sais pas si cette intégrale est calculable ou pas.

[invitee556df5c]

Merci silk, jai su le faire avec la première méthode. Maintenant je voudrais pouvoir le faire avec la deuxième avec l'intégrale. D'ailleurs je voudrais savoir pk tu y as pensé, que faut-il savoir pour avoir ce réflexe ?
Merci encore

[invite9617f995]

A vrai dire, je n'y ai pas pensé, c'est SchliesseB dans son premier message qui l'a fait ! C'est en voyant sa méthode de la dérivée pour le 1) que j'ai pensé que la primitive devrait résoudre le 2), sans ça, j'aurais pas trouvé aussi facilement

Pour ce qui est des calculs eux même, il faut procéder par étapes:
1) d'abord, reconnaître dans l'écriture de f(x) une certaine formule, et donc trouver une écriture de f(x) qui n'utilise pas de somme
2) calculer l'intégrale de f(x) de 0 à 1 en utilisant l'écriture sous forme de somme
3) calculer l'intégrale de f(x) de 0 à 1 en utilisant l'écriture trouvée au 1)
4) dire que les deux résultats du 2) et 3) sont égaux et conclure

Je te laisse déjà essayer comme ça.
Bonne chance
Silk