récurrence

[invite26c51c47]

bonjour à tous .

pouvez-vous m'aider ? on me demande de montrer par récurrence que : (5n^3+n) est divisible par 6 . d'après mon hypothèse de récurrence : 5n^3+n divisible par 6 , j'ai tenté de montrer que ceci était vrai pour 5(n+1)^3+n+1 et j'arrive au résultat suivant :
5n^3+n+15n²+15n+6 .

j'ai dit que d'après lhypothèse 5n^3+n est divisible par 6 mais comment faire après ? j'ai factorisé par le reste par 6 soit :
5n^3+n+6((15n²+15n)/6+1) et jai dit que le terme entre parenthèse est un multiple de 6 donc que l'ensemble est divisible par 6 . pouvez-vous me dire si c'est juste ou si c'est la bonne piste ? ou sinon quelle piste prendre car je ne vois pas d'autre solutions ...

merci d'avance
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[invite9617f995]

Plutôt que de factoriser, je pense déjà qu'utiliser des congruences rend les calculs plus clairs mais ça, c'est à toi de voir.

Ensuite, au vu de ton calcul, il ne te reste à prouver que 15n²+15n est divisible par 6 soit que 5n²+5n est divisible par 2.
Pour ça, l'étude des cas n pair et n impair devraient donner rapidement la solution (et même ne pas nécessiter de calcul, un raisonnement qualitatif suffit).

[invite26c51c47]

merci beaucoup silk78 , je pense avoir réussi !

dans les 2 cas (cas de n pair et cas de n impair ) je trouve que 5n²+5n est divisible par 2 donc que que 15n²+15n est divisible par 6 et donc que la propriété est héréditaire ! merci beaucoup !