Equation Polynôme avec coefficient complexe
Bonjour.
Je suis en classe de Terminale S et un devoir approche à grand pas sur les nombres complexes.
J'essaye en vain de faire un exercice de préparation "noté"
Voici l'énoncé.
Soit p(z) = z3 - (2+i)z² + (2+2i)z - 2i
* Démontrer que p admet une seule racine imaginaire pure z0 que l'on calculera.
* Déterminer deux nombres réels b et c tels que :
p(z) = (z-z0)(z²+bz+c)
* Résoudre dans C : p(z) = 0
Si vous pouviez m'éclairer.
Merci d'avance.
Julien
Salut,Envoyé par Julienbd
1) si z0 est imaginaire pur, alors z0 = a*i...tu peux donc simplifier p avec cette nouvelle écriture...
2) toujours la même méthode : développement puis identification...
3) avec le résultat de la question précédente, ca devrait être assez simple...
pour la première question, je pense qu'une démonstration par l'absurde s'impose
Il faut aussi montrer l'unicité de z0
justement, en remplaçant z par a*i, supposons que tu trouves (à tout hasard) p(z) = (a-1)*i...alors p(z) = 0 équivaut à a = 1...tu montres donc du coup qu'il n'existe qu'une et une seule racine imaginaire pure : i
Euh.. je ne vous suis pas trop là..
Dois-je remplacer z par ai ?
Pourriez vous être plus précis s'il vous plait ?
Merci
1) tu veux savoir s'il existe des racines imaginaires purs...or tout nombre imaginaire s'écrit z = a*i, avec a réel.
Tu peux donc remplacer z par a*i dans l'expression de p, et essayer de résoudre p = 0, et ainsi trouver la (ou les, mais ici ce sera la) valeur de a qui convient...
2) comme à chaque fois dans un exo où l'on te demande de trouver des coefficients a,b,c tels qu'une expression soit égale à une autre, il suffit de développer l'expression factorisée faisant apparaître ces coefficients, puis d'identifier les termes de même degré
3) se résume à trouver les racines d'un polynôme du second degré...
Je dois donc développer :
ai3 - (2+i)ai² + (2+2i)ai - 2i = 0
?
voilà, développer et simplifier...
edit : j'ai été un peu vite dans un des posts où je disais p(z) = (a-1)i (c'est ca quand on fait pas les calculs
il va falloir que tu utilises le fait qu'un nombre complexe est nul ssi partie réelle et partie imaginaire son nulles...
J'obtiens
ai3 - (2+i)ai² + (2+2i)ai - 2i = 0
ai3 - 2ai² + a3i4 + 2ai + 2ai² - 2i = 0
ai3 + a3i4 + 2ai - 2i = 0
Dois-je remplacer les i² par -1 / les i3 par -1i / les i4 par 1 ?
Que dois-je faire ensuite?
J'obtiens alors :
-ia + a + 2ai -2i = 0
Et si je met "a" en facteur, j'obtiens :
a(-i+1+2i-(2i/a)) = 0
Ou peut-être le "i" en facteur
==> i(-a+(a/i) + 2a -2) =0
mais je ne sais pas quoi faire de ça..
Tu as fait une erreur dans le développement. Tu dois substituer z=ai ca donne:
(ai)^3 - (2+i)(ai)^2 + (2+2i)(ai) - 2i = 0
--> a^3 i^3 - 2a^2 i^2 - i a^2 i^2 + 2a i + 2a i^2 - 2 i = 0
et tu remplaces i^3 par -i, i^2 par -1...
--> -a^3 i + 2 a^2 + a^2 i + 2ai - 2a - 2i = 0
La seule solution est a=1. Donc z=i est la racine
Puisque z=i est racine, c'est que (z-i) est facteur de p. Alors faire la division p(z)/(z-i) le résultat est une polynome de degré 2, de la forme (z²+bz+c). Ca répond à la 2me question.
Pour la 3me question, résoudre p(z)=0, bien tu connais déjà z=i comme racine, tu peux trouver les deux autres en utilisant la formule quadratique sur le polynome que tu as trouvé dans la question 2.
Ah merci. ça commence à venir.
Mais comment passe tu de
--> -a^3 i + 2 a^2 + a^2 i + 2ai - 2a - 2i = 0
à
La seule solution est a=1. Donc z=i est la racine
il faut que tu dises qu'un complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles
salut, j'ai un problème du même genre en fait...
j'ai le polynôme
z^2+3iX-3+i
Je l'ai mis sous forme canonique et ça me donne :
(z+(3/2)i)^2-(3/4)+i
Il faut que je trouve les racines de ce polynôme, quelqu'un aurait une idée ?
Salut,
quand tu notes X dans ton équation, tu veux dire z ou tu parles de la partie réelle ?
si c'est bien z et que ta deuxième ligne est bonne, tu peux résoudre Z^2 = 3/4-i, en posant Z = a+ib
Re : Equation Polynôme avec coefficient complexe
oups, dsl, oui, j'aurais dû mettre un z, c'est juste que je ne sais pas penser à un truc et écrire en mm temps lol
z^2+3iz-3+i
Donc voilà c'était bien ce polynôme du second degré ayant pour inconnue z dont il me faut trouver les racines.
J'ai essayé ta méthode, mais je n'y arrive pas...
Merci de m'avoir répondu
si tu écris Z = a+ib, tu peux développer Z² en a²-b²+2abi, et tu veux que ca soit égal à 3/4-i...il suffit après d'identifier parties réelle et imaginaire, pour avoir un système de deux équations à deux inconnues a et b. Pour résoudre le système, il te sera peut-être utile de poser A = a², et de te souvenir que a et b sont des réels.
merci pour ton aide, et dsl d'avoir 2 de tension ^^
bonjour mais depuis quand z=a*i ? z=a*i+b
