entier naturel avec diviseur

[invite67f41ab0]

Bonjour à tous, premier jour de cours et grande difficulté déjà. J'ai un devoir maison dans lequel je ne comprends même pas la question. Pourriez-vous m'éclairer ?

C'est : " Quel est le plus petit entier naturel ayant 15 diviseurs 2 à 2 distincts ? Justifier avec soin. Si n appartient à N*, on dit que p de N* est diviseur de n si et seulement s'il existe q de N* tel que n=pxq ".

Pourriez-vous me donner un exemple d'un entier naturel ayant un nombre de diviseurs 2 à 2 et comment le trouver ?
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[invited5b2473a]

144 me semble-t-il a 15 diviseurs deux à deux distincts.

[Médiat]

Bonjour,

Un nombre entier x > 1 s'écrit de façon unique où les sont des nombres premiers et les des entiers non nuls.
A partir de cette écriture, pouvez-vous compter les diviseurs de x ?

[invite1e1a1a86]

exemple:

pour 36:
il est divisible par 1 et 36
il est divisible par 2 et 18
il est divisible par 3 et 12
il est divisible par 4 et 9
il est divisible par 6

il a donc 9 diviseurs distincts.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

144 me semble-t-il a 15 diviseurs deux à deux distincts.

Et je suis prêt à parier que c'est le plus petit.

[Médiat]

Et je suis prêt à parier que c'est le plus petit.

En appliquant l'indication de mon premier message, cela peut même se démontrer !

[invited5b2473a]

En appliquant l'indication de mon premier message, cela peut même se démontrer !

Je suis d'accord avec toi et c'est d'ailleurs en utilisant la formule qui donne le nombre de diviseurs que j'ai choisi 144.

[invite67f41ab0]

Bonjour,

Un nombre entier x > 1 s'écrit de façon unique où les sont des nombres premiers et les des entiers non nuls.
A partir de cette écriture, pouvez-vous compter les diviseurs de x ?

Bonjour à tous et merci pour toutes vos réponses!!!!
J'aimerai savoir comment déterminer dans la formule les entiers non nuls à mettre en puissance sur le nombre premier (aussi les nombres premier).

Sont-ils des choix arbitraires??
Sinon je pense que pour chaque couple -nombre premier-entier non nul correspond un diviseur

Avec mes remerciements

[Médiat]

J'aimerai savoir comment déterminer dans la formule les entiers non nuls à mettre en puissance sur le nombre premier (aussi les nombres premier).

C'est la décomposition d'un entier en produit de nombres premiers, donc pas arbitraires du tout

Sinon je pense que pour chaque couple -nombre premier-entier non nul correspond un diviseur

Pour chaque n-uplet (il peut y avoir plus de 2 diviseurs premiers), sinon votre approche est presque correcte, pour chacun des nombres premiers de la décomposition, on peut choisir un nombre entier compris entre 0 et son exposant.

Par exemple dans le cas de 144 = 2⁴.3², pour déterminer tous les diviseurs, il faut choisir l'exposant de 2 entre 0 et 4 (5 possibilités) et il faut choisir l'exposant de 3 entre 0 et 2 (3 possibilités) : il y a donc 5.3 = 15 possibilités c'est à dire 15 diviseurs.

Attention, c'est la démarche inverse que l'on vous demande (trouver le nombre le plus peit ayant 15 diviseurs, et non, comme je viens de le faire, trouver le nombre de diviseurs de 144).