[Maple] Système équa diff

[invitecbbe8793]

Bonjour,

J'ai un problème avec Maple. J'essaie de résoudre numériquement un système d'équations différentielles linéaires de 4 équations du type (il y a à chaque fois des coefficients devant les variables !) :






où x(t), y(t), z(t) , v(t) sont des fonctions inconnues. f(t) est connue. Pour t<t0; f(t)=0 mais pour t>t0, f(t)=a*t+b.

J'utilise la commande DEplot pour résoudre. Maple me retourne un message du type :

"Error, (in DEtools/convertsys) unable to convert to an explicit first-order system"

Comment se fait'il ? Comment y remédier ?

Merci
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[invite63e767fa]

Bonjour,

Le système de quatre EDO peut être résolu analytiquement par substitutions et élimination successive des fonctions inconnues jusqu'à le réduire à une seule EDO du troisième ordre. (L'équation d'inconnue y(t) selon la méthode indiquée en page jointe)
Bien sûr, on peut gérer différemment les substitutions, mais on arrivera toujours à une EDO du troisième ordre.
Outre le fait que l'EDO est du troisième ordre, il peut y avoir une difficulté dans les spécifications de la fonction f(t) qui passe des valeurs 0 à b lorsque t passe de t0-epsilon à t0+epsilon ( donc fonction de Heaviside ).
Si l'on procède par résolution numérique, l'échec pourrait aussi venir d'une insuffisance dans les conditions spécifiées (ne permettant peut-être pas le calcul numérique des trois constantes d'intégrations).

[invitecbbe8793]

Merci pour votre réponse. Effectivement, j'avais songé à une résolution analytique et ainsi aboutir à une équation différentielle du 3ème ordre. Mais je pensais que Maple résolvait des systèmes d'équations différentielles, car j'avais souvent eu le message "Error unable to convert in to a first order" .
En fait je n'ai que 4 conditions initiales portant sur y(0), x(0), z(0) et v(0), donc à priori cela peut se résoudre...

Je me demande aussi si le problème ne provient pas de la fonction f(t) définie par morceaux..

[invite63e767fa]

Bonjour,

pour localiser précisément l'origine de la difficulté, vous pouvez essayer ceci :
Premièrement, la résolution avec Maple de l'équation :
3y'''+3y''+3y'+y=f'+f
(attention à la discontuité de f(t) en t0 : Fonction d'Heaviside pour f et de Dirac pour f' )
Evidemment, si ca ne passe pas, il faudra régler cela à ce niveau avant de passer à l'étape suivante.
Deuxièmement, en oubliant l'équation traitée précédemment, la résolution avec Maple du système à deux fonctions inconnues x(t) et y(t) :
x+x'+y''+y'+y=k1
2y''+y'+y-x'=f
Si ca ne passe pas, il faudra régler cela à ce niveau avant l'étape suivante.
Troisièmement, en oubliant ce qui a été fait avant, résolution du système de 3 équations d'inconnues x(t), y(t) et v(t)
idem.
Quatrièmement : le système de 4 équations initial.
En remontant ainsi du plus simple au plus compliqué, il doit être possible de localiser et d'éliminer le point d'achoppement.
Evidemment, la résolution purement analytique est possible, mais cela risque d'être pénible.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite63e767fa]

Pour la résolution formelle, une excellente méthode consisterait à utiliser la transformation de Laplace : La prise en compte des conditions initiales et de la discontinuité de la fonction f(t) seront ultra-simplifiés. Le système sera très facile à résoudre ( quatre équations linéaires).
Par contre, le retour aux fonctions x(t), y(t), z(t) et v(t), par transformations de Laplace inverse, sera probablement ardu (bien que faisable). L'utilisation d'un logiciel de calcul formel devrait bien aider !

[invitecbbe8793]

Merci pour tes indications très utiles. J'ai finalement réussi à trouver la source du problème grâce à tes recommandations.