suites

[Jess921]

bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour une démonstration. Je dois démontrer qu'une suite qui n'est pas majorée possède une suite extraite qui est divergente vers + l'infini.

Donc j'ai écris la définition d'une suite non majorée c'est-à-dire qu'il existe pour tout réel positif A un rang N à partir duquel si n>N alors Un est supérieure à A.

Mais après la suite n'étant pas croissante elle ne diverge pas nécessairement donc comment dois-je partir après svp ?

Merci d'avance
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[SchliesseB]

votre définition de non majorée est fausse. En réalité:
pour tout réel positif A et pour tout entier N. Il existe au moins un n>N tel que est supérieure à A

(en réalité, il en existe une infinité, mais tous les n>N ne conviennent pas forcément, de plus le rang N n'est pas fixé)

En fait même, la définition ne fait pas intervenir de N:
pour tout réel positif A. Il existe au moins un n tel que est supérieure à A.

Mais les deux sont équivalentes (pouvez vous le prouvez?)

A partir de là. Imaginons que je pose
en choisissant bien A et bien N, et t'il possible un rang k tel que ?

puis un etc etc... par récurrence, vous devriez arriver a extraire une suite croissante (mais diverge-t-elle vers l'infini pour autant? la réponse est non... il faut être "rusé" et imposer, par exemple, que soit supérieur à n...)

[Jess921]

a oui en effet ma définition n'était pas bonne ... Donc d'après votre déf, puis-je alors prendre pour le rang n=1, A=v₀ et n=k₁ tel qu'on a alors u_k1=v₁>v₀ ?

et après dans la récurrence, on dirait que il existe k₂,k₃ tels que k₁<k₂<k₃ et avec : v_n+1(=u_k3)>v_n(=u_k2) .
Et alors en utilisant la définition et cette hypothèse de récurrence avec A=v_n+1 et n=k₄>k₃, v_n+2>v_n+1 et donc P(n+1) vraie ???

et peut-on comme ça imposer que cette suite (vn) >(n) ??

merci d'avance

[SchliesseB]

Partons donc de la "vraie" définition:
pour tout réel positif A. Il existe au moins un n tel que est supérieure à A.

Essayons de construire une suite qui diverge vers l'infini (pas besoin d'imposer croissante en fait après tout)

prenons , il existe donc un n tel que . posons alors

prenons, il existe donc un m tel que . le problème c'est que m peut à priori être plus petit que n (et ça poserais des problèmes car V ne serait plus une suite extraite). Néanmoins, il existe forcémement un indice m' tel que m'>n et . En effet, si pour tout les indices supérieur à n la suite est majoré par 1 alors U serait majoré par .
Ainsi, je peux poser .

Je te laisse écrire la construction de V par récurrence. elle divergera vers l'infini (car plus grande que la suite n) et elle sera bien extraite de U.

Pour le même prix (ou presque) je pourrais construire une sous suite croissante qui diverge vers l'infini.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jess921]

ok merci j'ai compris l'idée et j'ai fait la récurrence !!