La notion d'espace complet est-elle nécessaire ?

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je me demandais si la notion d'espace complet n'était pas superflue : si l'on considère un espace métrique , il me semble qu'il est complet si, et seulement si, il contient toutes les valeurs de convergence des suites de .

Or cette propriété ressemble beaucoup à la caractérisation d'un sous-espace métrique fermé, donc ne pourrait-on pas élargir la notion de fermé aux espaces métriques (un espace métrique serait fermé s'il contient toutes les valeurs de convergence de ses suites) et se passer ainsi de la notion d'espace complet ?

Qu'en dîtes-vous ?

Phys2
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[invite986312212]

Q est fermé dans lui-même mais pas complet.
qu'appelles-tu "valeur de convergence" ?

[Seirios]

Q est fermé dans lui-même mais pas complet.

J'ai dû me perdre quelque part : Q ne me semble pas fermé dans la mesure où il ne contient pas tous ses points d'accumulation, mais il me semble l'être puisque son complémentaire (l'ensemble vide si l'on se place dans Q) est ouvert...

qu'appelles-tu "valeur de convergence" ?

C'est-à-dire qu'il existe une suite convergeant vers cette valeur.

[invité576543]

Il me semblait personnellement que c'était plutôt proche (et peut-être redondant) de la notion de connexité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite30f06b89]

Un fermé dans un complet est complet je pense que le problème est là dans ton raisonnement.

[invite986312212]

C'est-à-dire qu'il existe une suite convergeant vers cette valeur.

étant donné un point d'un espace topologique, il existe toujours une suite convergeant vers ce point: la suite constante.

[invite1e1a1a86]

certes, mais si ce point n'appartient pas à E, alors une telle suite n'est pas dans

Dans un "grand" espace complet, alors fermé entraine complet. mais dans le cas général, ça ne marche pas.

[invite4ef352d8]

Salut !

le problème c'est que fermé est une notion relative (ie qui s'applique à une partie d'un espace et qui dépend de l'espace ambiant) alors que complet est une notion intrinsèque (qui ne dépend que de la topologie de l'espace)

Ceci dit il est en effet possible de formaliser proprement cette intuition que tu as du fait que complet et fermé sont essentiellement la même choses : Complet est équivalent à "universellement fermé "

plus précisement : un espace vectoriel métrique E est complet si et seulement si pour tout espaces vectorielle métrique F contenant E comme sous espace (la topologie de E étant induite par celle de F) alors E est fermé dans F.

(NB : je sais pas toi, mais pour moi espace vectoriel métrique sous s'entend "avec une distance invariante par translation"... sans ca le résultat risque de ce compliquer un peu...)

mais cette notion "d'universellement fermé" est pas très pratique à manipuler dans la pratique, c'est pour ca qu'on utilise la définition avec des suites de cauchy...

[Seirios]

mais cette notion "d'universellement fermé" est pas très pratique à manipuler dans la pratique, c'est pour ca qu'on utilise la définition avec des suites de cauchy...

Elle est aussi plus restreinte, puisque l'on ne traite que les espaces vectoriels métriques, non ?

le problème c'est que fermé est une notion relative

Pourtant, un sous-ensemble d'un espace métrique est fermé ssi il contient ses points d'accumulation ssi son complémentaire est ouvert, et le deuxième énoncé me paraît intrinsèque alors que le troisième non...Je vais revoir ça.

[invite4ef352d8]

Ba non, le fait de contenir ces points d'accumulation n'est pas intrinsèque : les points d'accumulation dépendent de l'espace ambiant ! (piqure de rappelle : tout espace est fermé si on le prend comme "espace ambiant" )


sinon oui, j'étais partie sur les espaces vectoriel parceque c'est un poil plus simple, dans le cas des espaces métrique on peut dire que :

"un espace métrique E est complet si et seulement si pour tout espace métrique F et tout plongement isométrique de E dans F alors E est fermé dans F"

c'est pas exactement l'analogue de l'énoncé donné sur les espaces vectorielles (dans ce cas là je considérais des plongement topologique et ici des plongement isométrique) mais dans l'idée c'est plus ou moins la même choses...

[Seirios]

"un espace métrique E est complet si et seulement si pour tout espace métrique F et tout plongement isométrique de E dans F alors E est fermé dans F"

Que je sois sûr de comprendre ce passage : un prolongement isométrique de E dans F, cela signifie que la restriction de la distance de F sur E correspond à la distance définie sur E, c'est bien ça ?

[invite4ef352d8]

Exactement, comme une isométrie est automatiquement injective, on peut aussi dire qu'il s'agit juste d'une application isométrique (ie vérifiant d(f(x),f(y))=d(x,y) ) de E dans F.


J'attire aussi ton attention sur la propriété simillaire suivante :

un espace topologique E est compact, si et seulement pour tout espace topologique séparé F et toute application f:E->F, f(E) est fermé.

la compacité est donc aussi une propriété de "fermeture universelle" mais pas pour la même "catégorie d'objet" (cette fois on regarde juste les espaces topologique séparé et les applications continu aux lieu des espaces métrique et des isométrie...)

[Seirios]

Merci bien

[invite4ef352d8]

un espace topologique E est compact, si et seulement pour tout espace topologique séparé F et toute application f:E->F, f(E) est fermé.

errata :"un espace topologique E séparé est compact si et seulement si ...." parceque evidement l'espace grossier devrait être compact avec cette définition...

[Seirios]

J'aurais une petite question :

J'attire aussi ton attention sur la propriété simillaire suivante :

un espace topologique séparé E est compact, si et seulement pour tout espace topologique séparé F et toute application continue f:E->F, f(E) est fermé.

Comment montres-tu la réciproque ? (juste dans les grandes lignes)

[invite4ef352d8]

Salut !


par un argument d'ultra filtre c'est assez simple : si E n'est pas compact on peut considérer un ultrafiltre non convergent, et ajouter un point à E dont cet ultrafiltre va être le filtre des voisinages ( il me semble que ca marche...)

ceci dit, il y a peut-etre une preuve utilisant la caractérisation de Borel Lebesgue... j'ai pas réfléchi...

[Seirios]

Je ne vois pas très bien comment tu construis le nouvel espace : on considère , et on le munit de quelle topologie ? (parce que si on utilise les parties de l'ultrafiltre, x peut ne pas appartenir à l'une de ces parties, non ?)

[invite4ef352d8]

l'ultrafiltre est formé de partie de E, ce demander si x appartiens ou non au élément de l'ultrafiltre na pas de sens, puisque x n'est pas un point de E ^^

je disait qu'on prenanis comme voisinage de x les parties de la forment x union un element de l'ultrafiltre choisit...

cela dit, je me suis un peu emballer, cette famille ne voisinage n'est pas associé à une topologie...

je vais reréfléchir ^^

[invite4ef352d8]

Bon...finalement j'ai un leger doute sur la propriété que j'ai mentionné dans le cas ou l'espace de départ n'est pas régulier (cela dit la remarque faite reste interessante, c'est juste qu'il faut se restreindre à la catégorie des espaces régulier...) ... il faudrait que j'aille revoir dans bourbaki pour voir si ca reste vrai pour des espaces séparé quelconque mais j'ai pas vraiment le temps en ce moment, désolé...

(enfin il me semble quand même qu'un espace est toujours dense dans son compactifié de Stone-Cech, et donc que si il est d'image fermé dedans, il est compact... mais c'est à vérifier )

[Seirios]

l'ultrafiltre est formé de partie de E, ce demander si x appartiens ou non au élément de l'ultrafiltre na pas de sens, puisque x n'est pas un point de E ^^

C'est pour ça que je ne comprenais pas...

Bon...finalement j'ai un leger doute sur la propriété que j'ai mentionné dans le cas ou l'espace de départ n'est pas régulier (cela dit la remarque faite reste interessante, c'est juste qu'il faut se restreindre à la catégorie des espaces régulier...) ... il faudrait que j'aille revoir dans bourbaki pour voir si ca reste vrai pour des espaces séparé quelconque mais j'ai pas vraiment le temps en ce moment, désolé...

J'ai jeté un oeil dans le Bourbaki ce matin, et l'application envoyant un espace topologique X sur son compactifié de Stone-Cech est un homéomorphisme ssi X est complètement régulier.

Je vais essayer de trouver des (contres-)exemples, j'y verai peut-être plus clair.

[invite4ef352d8]

La question intéressante, c'est est ce que X est toujours dense dans son compactifié de stone-cech, si c'est le cas, alors ce que j'ai di tplus haut est bien vrai... j'ai envie de dire que oui vu que les application de X->U s'étende de façon unique au compactifié, le seul obstacle c'est qu'il s'agit uniquement d'application à valeur dans des compact et donc ca me bloque un peu pour conclure... mais je suis sûr que ce genre de question est traité dans Bourbaki... j'essaierai d'y jeter un œil demain si j'ai le temps

[Seirios]

Je reviens sur la question qui a été laissée en suspend : dans le mesure où tout espace compact est nécessairement complètement régulier, je pense qu'on peut supposer dans la propriété que l'espace de départ est complètement régulier sans que cela pose de réels problèmes.

Donc finalement, on a les deux propriétés suivantes :
- Soit E un espace métrique. Alors E est complet ssi pour tout espace métrique F et pour toute isométrie i : E -> F, i(E) est fermé dans F.
- Soit X un espace topologie complètement régulier. Alors X est compact ssi pour tout espace topologique séparé Y et pour toute application continue f : X -> Y, f(X) est fermé dans F.

Je me demandais si l'on ne pouvait pas généraliser la première propriété dans les espace uniformes. J'ai pensé à "X est complet ssi pour tout espace uniforme (séparé) Y et pour toute application uniformément continue f : X -> Y, f(X) est fermé dans Y", mais même en métrique on peut construire des contre-exemples de l'implication, à partir de la fonction inverse par exemple (la réciproque est cependant vraie).
Sous quelle(s) condition(s) l'image d'un espace complet par une application (uniformément) continue est-elle fermée ?

[Seirios]

Finalement, j'ai résumé et développé les idées de base qui ont été évoquées dans cette discussion dans un petit document écrit. Je le mets en pièce jointe.

Je l'ai écrit il y a un petit moment, et j'ai certainement détaillé à outrance certains arguments, mais si vous avez des remarques / questions / compléments, n'hésitez pas.

[Médiat]

Bonjour Seirios,

Document très intéressant, j'ai néanmoins quelques remarques (sur le chapitre 1) :

1) Jusifions au lieu de Justifions.
2) Il serait intéressant que vous ajoutiez quelques définitions (espace métrique, espace complet, isométrie, etc.) soit sous la forme d'un glossaire, soit dans le cours du texte comme vous l'avez fait pour les axiomes de séparations.
3) Personnellement, j'ai été gêné que vous utilisiez la même notation pour les suites (éléments de ) et les classes de suites (éléments de ).
4) Une conséquence du point précédent est que le paragraphe commençant par "Soit ", n'est pas clair pour moi (d'où vient ?)
5) Le paragraphe "Preuve du théorème 1.1" utilise l'ensemble Y, alors que cet ensemble n'est déclaré que sur la page précédente dans l'énoncé du théorème, je pense qu'un simple rappel des éléments du théorème permettrait de rendre ce paragraphe plus clair.

Encore merci pour cet excellent document.

Cordialement

[Seirios]

1) Jusifions au lieu de Justifions.

Je corrige.

2) Il serait intéressant que vous ajoutiez quelques définitions (espace métrique, espace complet, isométrie, etc.) soit sous la forme d'un glossaire, soit dans le cours du texte comme vous l'avez fait pour les axiomes de séparations.

Serait-ce vraiment utile ? Les notions les plus délicates du document sont certainement les filtres et les structures uniformes, et il me paraît difficile de les mentionner dans un glossaire de manière utile, il faudrait un document à part entière pour cela. Alors donner les définitions d'espace métrique ou d'isométrie sans mentionner les filtres et les structures uniformes me paraît assez peu cohérent.

3) Personnellement, j'ai été gêné que vous utilisiez la même notation pour les suites (éléments de ) et les classes de suites (éléments de ).
4) Une conséquence du point précédent est que le paragraphe commençant par "Soit ", n'est pas clair pour moi (d'où vient ?)

Je pensais aléger les notations. Manifestement cela ne s'est pas fait sans ambiguïtés, je vais modifier ce point.

5) Le paragraphe "Preuve du théorème 1.1" utilise l'ensemble Y, alors que cet ensemble n'est déclaré que sur la page précédente dans l'énoncé du théorème, je pense qu'un simple rappel des éléments du théorème permettrait de rendre ce paragraphe plus clair.

C'est noté, je vais rajouter quelques mots.

[Médiat]

Bonjour,

Alors donner les définitions d'espace métrique ou d'isométrie sans mentionner les filtres et les structures uniformes me paraît assez peu cohérent

La liste que j'ai donné était là à titre d'exemple.

Encore désolé pour la fausse manip

[Seirios]

Après réflexion :

Je vais rajouter un glossaire avec les définitions de base, excepté pour ce qui est filtre et structure uniforme. Pour le troisième paragraphe (qui utilise le plus ces dernières notions), je vais rajouter un corollaire pour le cas métrique et j'en proposerai une démonstration sans filtre. Cela devrait permettre de rendre le document le plus accessible.

D'un autre côté, j'écrirai un petit document sur les filtres en topologie et les structures uniformes. Comme il y a pas mal de travail, je ne m'y mettrai pas tout de suite, d'ici un ou deux mois probablement.

Je devrais sans doute poster la nouvelle version du pdf ce week-end.

[Médiat]

C"est parfait pour moi. Je pense lire la suite ce week-end

[Seirios]

Voici une nouvelle version avec les améliorations annoncées :

[Médiat]

Bonjour,

Désolé du retard, mais j'ai enfin eu un peu de temps pour lire le chapitre 2.

Pourriez-vous ajouter quelques définitions sur les notions topologiques de base (complètement régulier, par exemple, ).
Page 3 la 3ième définition, pourriez-vous donnez quelques indications sur l'ensemble d'index L (ne serait-ce que pour dire qu'il est quelconque)
Page 4 caractérisatio au lieu de caractérisation