1ère harmonique de Fourier

[Yoghourt]

B'jour,

Je dispose de 12 températures moyennes mensuelles T0 à T11.
Je cherche à approximer T sous la forme :
T(t) = moyenne(T) + A.cos(2.pi.t/P + phi)
P= 1an = 12 en comptant en mois

Pour cela, j'ai deux méthodes à disposition : la régression sinusoidale, la transformée de Fourier réduite à la 1ère harmonique. Le but in fine est de faire une approximation de la température moyenne mensuelle du sol en fonction de la profondeur (équation de la chaleur, sollicitation sinusoidale à un milieu semi-infini)

Les échantillons étant assignés au milieu de chaque mois, ils sont presque réguliers. La régression sinusoidale prend bien ça en compte, contrairement à Fourier discret. Néanmoins, je pense que Fourier sera une approximation bien plus réaliste du point de vue physique que la régression sinusoidale. Je me propose (ouais, je suis comme ça) de calculer les 2.

Voilà pour le contexte.

Sur wikipedia, j'ai la définition usuelle et générale de an et bn pour le cas où la fonction est réelle.
Quelle est l'expression de a1 et b1 pour une discrétisée de période P? J'obtiens :
a1 = 2/P.somme(k=-P/2 à p/2-1; T(k) * T/2pi * (sin(2*pi/P*(k+1) - sin(2*pi/P*(k))
b1 = 2/P.somme(k=-P/2 à p/2-1; T(k) * T/2pi * (-cos(2*pi/P*(k+1) - cos(2*pi/P*(k))

Je crains un peu de m'être planté dans le calcul, et je ne sais pas s'il y a une meilleure forme (du point de vue calcul numérique).
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[Philou67]

Sans retirer l'intérêt de la question initiale, qui reste entière ne serait-ce que pour la culture mathématique, mais connaissant par ailleurs la finalité de ce calcul, je me demandais les choses suivantes :
- les données mensuelles de températures représentent des moyennes, et les moyennes glissantes sur 30j tout au long de l'année ne présenterons pas d'écarts significatifs par rapport aux moyennes "milieu de mois" (tout au plus 1°C ou 2°C ; je n'ai pas vérifié sur mes relevés de températures des 3 derniers hivers, c'est une intuition qui me semble réaliste). L'amplitude moyenne basée sur max-min (t(juillet/aout) - t(janvier/février)) devrait dans ce contexte, être une bonne approximation, non ?
- de part la qualité des données (moyenne sur 30 jours) évaluer de valeurs intermédiaires peut peut-être se limiter à une interpolation linéaire ou du 2e degré ?

[Yoghourt]

Merci Philou, je me sens moins seul...

Une meilleure forme serait sûrement :

Du moins si je ne me suis pas trompé sur les indices...

Philou, à mon sens, le premier point que tu soulèves est celui de la "marge d'erreur" de la température moyenne mensuelle. Je pense intuitivement comme toi qu'elle est "non négligeable".

Dans l'échelle de temps considérée et hors évênements du type 6 août 1945 8h16m2s, la température de l'air extérieur est un signal aléatoire de puissance finie et de classe au moins C¹. Pas très pratique à manipuler...

Passer de ce signal réel à une échantillonée mensuelle périodisée va impliquer un certain nombre de transformations.

Tout d'abord, on utilise un capteur qui a sa propre marge d'erreur et introduit potentiellement des artefacts. Par exemple, il a son propre temps de réaction, etc.

En supposant que la fréquence max du signal réel est entre 1/10minutes et 1/1h, tout rééchantillonnage brutal sur période d'échantillongage=1jour va emplafonner Shannon : aliasing/repliement de spectre. En principe, il faut d'abord limiter les fréquences du signal capteur par un filtre passe-bas convenable avant de rééchantilloner. Convenable, ça veut dire qui coupe totalement les fréquences au-dessus 1/1jour.
Les méthodes usuelles pour le bâtiment (méthodes DJU du CSTB et du COSTIC) ne sont pas très propres à ce sujet, 2e source d'erreur et d'artefact. Deuxième source d'erreur.
Le ratio d'aliasing n'a pas de raison d'être une puissance de 2. Lors du repliement des spectres images, il y aura alors des artefacts de Shannon vis à vis du signal d'origine.

On passe ensuite à une notion de moyenne glissante, c'est à dire un filtre passe-bas réduit à une fonction porte. Ce n'est rien d'autre qu'un 2e filtrage/sous-échantillonage, et fort sale pour le coup : fonction porte en temporel => sinus cardinal en fréquenciel => plein de lobes secondaires d'amplitude importante => introduction d'artefacts et erreurs.

Enfin, quelque part, on a troqué un signal réel aléatoire non périodique contre un signal (synthétique) périodique de période 1 an. Heureusement qu'on ne fait de la climatologie comme ça!

Note : Si d'aucun a envie de calculer la corrélation entre "température réelle" (échantillonée "courte" à l'aide d'un capteur bien choisi) et température mensuelle, je prends


Ci-joint diverses interpolations à partir de températures moyennes mensuelles (zip contenant une feuille de calcul openoffice).
Pour Fourier, j'ai bidouiller l'abscisse, et je ne m'explique pas le décalage observé sans cette bidouille. Peut-être est-ce une erreur dans mes indices dans l'analyse de Fourier discrète, peut-être est-ce une erreur de coordonnées dans ma synthèse de Fourier.
J'ai été calculer l'harmonique de rang 2, histoire de voir. J'ai un peu saturé sur le sujet, et ne sais plus s'il faut diviser la somme par n pour le calcul des coefs de l'harmonique de rang n.
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La formule donnant la température d'un milieu semi-infini soumis à une température sinusoidale est connue, avec une bonne tête.

D'une part, je ne connais aucune formulation analytique donnant la même information dans le cas d'une fonction affine par morceaux ou d'un polynome d'interpolation.
D'autre part, les articles comme celui d'Amitrano utilisent une hypothèse de température sinusoidale. Chose intéressante dans l'article de David Amitrano, il effectue une comparaison de sa solution analytique avec les résultats du logiciel numérique GAEA, et la corrélation est bonne.
Enfin, la part d'incertitude concernant la modélisation thermique du sol est importante. Ce n'est pas un milieu homogène, sa composition n'est pas connue de façon précise, sa conductivité thermique et sa capacité thermique sont variables ne serait-ce qu'en fonction de la teneur en eau, etc.

Aussi, je me dis que le régime sinusoidal avec a température de l'air comme seule source est une hypothèse somme toute suffisante et bien pratique. Je conviens que ce n'est pas en soi une preuve solide que l'hypothèse est valide. En particulier, vis à vis des apports solaires au sol selon sa couverture.