Dimension de R en tant que Q-ev?

invitee7ddda3d · 12/09/2010, 11h01

Bonjour,

Quelle est la dimension de $\text{[math]}$ en tant que $\text{[math]}$ -ev ? Infinie ? Pourquoi?

Merci.

invite1e1a1a86 · 12/09/2010, 11h25

$\text{[math]}$ n'est pas dénombrable alors que $\text{[math]}$ l'est (et donc tout $\text{[math]}$ -espace vectoriel de dimension finie aussi).

invite986312212 · 12/09/2010, 11h26

si la dimension était finie, R serait ce qu'on appelle une extension finie de Q et tout élément de R serait racine d'un polynôme à coefficients dans Q, or on sait que ça n'est pas le cas (pi et e par exemple ne sont pas algébriques).

**Médiat** · 12/09/2010, 12h14

Considérer $\text{[math]}$ comme un $\text{[math]}$ , cela veut dire que tout réel peut s'écrire comme une combinaison linéaire rationnelle finie d'élément d'une base, or le nombre de ces combinaisons linéaire finie est égal au cardinal de la base fois $\text{[math]}$ (cardinal de $\text{[math]}$ ).

Le cardinal de $\text{[math]}$ étant $\text{[math]}$ , ses bases aussi, sa dimension en tant que $\text{[math]}$ est donc $\text{[math]}$ .

Cela revient à résoudre l'équation cardinale :
$\text{[math]}$ dont la solution est $\text{[math]}$

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