Démonstration sur les applications

[Shadowlugia]

Bonjour,

j'essaie de montrer que si une application de E dans E est injective, alors elle est forcément bijective, mais je n'y arrive pas. Auriez-vous des pistes à me donner ?
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[Médiat]

Bonjour,

L'application de IN dans IN qui a x fait correspondre 2x est injective, mais pas bijective, donc vous n'arriverez pas à le démontrer.

[invitebe08d051]

Salut,

Cependant, cela devient vrai si est fini.

[Médiat]

Ou si on parle d'applications linéaires dans un espace vectoriel de dimension fini, ou si ... etc.

L'énoncé donné est faux, il faudrait que le posteur initial fasse l'effort de donner le bon

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea6816ba4]

comme l'application est injective le cardinal de l'image vaut le cardinal de l'ensemble de départ.
d'autre part le cardinal de l'ensemble d'arrivée vaut celui de départ et par la phrase précedente il vaut le cardinal de l'image.
donc comme l'image est inclus dans l espace d'arrivée et qu ils ont le même cardinal ils sont égaux.donc l'application est surjective
conclusion elle est une bijection

[Médiat]

comme l'application est injective le cardinal de l'image vaut le cardinal de l'ensemble de départ.
d'autre part le cardinal de l'ensemble d'arrivée vaut celui de départ et par la phrase précedente il vaut le cardinal de l'image.
donc comme l'image est inclus dans l espace d'arrivée et qu ils ont le même cardinal ils sont égaux.donc l'application est surjective
conclusion elle est une bijection

Que donne votre raisonnement avec la fonction que j'ai donnée en contre-exemple au message #2 ?

A tout hasard et n'entraîne absolument pas

[invitebe08d051]

comme l'application est injective le cardinal de l'image vaut le cardinal de l'ensemble de départ.
d'autre part le cardinal de l'ensemble d'arrivée vaut celui de départ et par la phrase précedente il vaut le cardinal de l'image.
donc comme l'image est inclus dans l espace d'arrivée et qu ils ont le même cardinal ils sont égaux.donc l'application est surjective
conclusion elle est une bijection

Qu'est ce qui vous donne le droit de parler de cardinal ?

Vous lisez les messages qui ont été posté avant le votre ?

[invitea6816ba4]

ce n'est vrai que pour le cas fini
je l'ai montré dans ce cas sachant que l'auteur du message a certainement oublié de le mentionner.

[invitea6816ba4]

vous n'avez pas le droit de parler de cardinal.......

[Shadowlugia]

en fait, c'est une propriété dont un élève s'était servi pour montrer qu'une application était une permutation. Effectivement, il aurait mieux valu que je vous mettte l'énoncé de l'exercice concerné tout de suite avant de vous poser cette question : on considère un groupe X muni d'une loi de composition * et à pour tout a de X, on pose l'application Ta de X dans X qui à tout x de X associe l'élément a*x, et c'est là qu'il faut montrer que c'est une permutation.

L'élève concerné avait montré qu'elle était injective (si Ta(x) = Ta(y) alors x = y) puis dit que c'était une application de X dans X injective donc que c'était une permutation : le prof avait fait un dessin avec des diagrammes de Venn en prenant comme exemple un ensemble de trois éléments.

voilà ! en tout cas, merci pour vos réponses ! et désolé de ne pas avoir été précis !

[invite57a1e779]

Dans cette situation, on peut facilement prouver que Ta est surjective, même si le groupe est infini, auquel cas la surjectivité ne découle pas de l'injectivité, mais de la nature particulière de l'application Ta.