Bonjour,
Je n'arrive pas à faire cet exo :
Soit. Soit
une suite dans P, et
tel que :
converge. Montrer que sa limite est de la forme
avec
.
Merci d'avance
-----
Bonjour,
Je n'arrive pas à faire cet exo :
Soit. Soit
une suite dans P, et
tel que :
converge. Montrer que sa limite est de la forme
avec
.
Merci d'avance
Bonjour,
Une idée : démontre que la suiteest bornée.
Il suffit alors de considérer une valeur d'adhérencede cette suite.
Bonjour God's Breath, c'est un plaisir de te voir toujours sur ce forum !
Je pense que pour montrer que la suite est bornée, il faut le faire par l'absurde. Si elle n'est pas bornée, alors elle tends vers l'infini. (on vient de faire le cours sur les normes, la notion de convergence, c'est toujours lié aux normes non ?).
Or un polynôme est toujours équivalent à son coefficient et terme de plus haut degrés en + infinie, doncva tendre vers l'infini..
D'où nécessairementest bornée.
Donc par BW, il existe une application :croissante tel que :
, donc
est une valeur d'adhérence.
Donc ?? là je n'arrive pas à conclure ^^
Pas vraiment : la suite de terme généraln'est pas bornée, mais ne tend pas vers l'infini. Il faut être un peu plus fin.
Oui enfin, je vois l'erreur : si on considère cette suite :![]()
Oui, c'est ça, je voulais écrirepour avoir une suite qui admet des sous-suites bornées, et des sous-suites non bornées.
Si la suite est non borné tu peux en extraire une suite qui tend vers plus l'infini en norme et conclure par ce que tu viens d 'avancer
on peut montrer directement aussi que l'ensemble Q(P) est fermé sans passer par les suites......
On a pas encore étudier la notion d'ouvert ou de fermé bien comme il faut.
Par contre ta première idée est intéressant, c'est ce que je me disait mais du mal à l'exprimer si une suite est non bornée, alors l'ensemble, avec A réel fixé, est infinie. Quitte à mettre de l'ordre dans cette ensemble, on peut trouver une sous suite qui tend vers l'infini on la note
. Et donc
ne converge pas. Cela entraine la non converge de
en raisonnant par l'absurde.
Bon j'espère que cette démonstration est valable pour la première idée.
Maintenant que je sais qu'elle est bornée, et comme avant j'ai une valeur d'adhérence j'en fais quoi ?![]()
Sitend vers
,
tend vers
...
Bon si ce que j'ai dis est bon.
Supposons quene converge pas vers
.
Alorstel que
soit infinie. Donc on peut en extraire une suite
qui est bornée comme
et donc par BW, elle admet une sous suite qui converge vers
différent de [TEX]z[TEX], et finalement
ne sera pas convergente, enfin si jamais
pose problème..
Ce que tu viens de faire, à partir de l'hypothèse : la suite de terme généralconverge de limite
.
1. Tu prouves que la suite de terme généralest bornée, donc admet une valeur d'adhérence
, limite d'une sous-suite de terme général
.
2. Par extraction sur la suite convergente de terme général,
est limite de la suite extraite de terme général
.
3. Par continuité des fonctions polynomiale :.
Il reste à prouver queappartient au demi-plan
.
Mais on peut avoiravec
et
car la restriction de
à
n'a aucune raison d'être injective.
Ah d'accord, je m'étais un peu perdu..
Pour l'instant je ne voit pas pourquoi on a pris une suite dans cet ensemble, car ce qu'on vient de faire n'a pas utilisé une hypothèse relevant de ça.
J'ai déjà fait un exo en sup où on montrait que cet ensemble est le demi plan de Poincaré et qu'il était convexe.. Donc je pense qu'il faut utiliser la convexité ? Ou bien montrer que c'est un espace complet ?
Il suffit de calculer la partie imaginaire de la valeur d'adhérence.
C'est tout simple ?
On écritalors comme
, alors cette suite ne peut pas converge vers un réel
ou
.
lol au début on se dit que c'est la partie la plus dure..merci en tout cas !
Maintenant j'ai un autre exercice, je ne sais même pas comment le commencer, c'est le premier du genre que je fais :
Montrer que la convergence de la suitevers 0 entraine celle de
vers 0.. On voit bien que c'est du développent limité type :
en 0, mais voilà j'ai jamais vu de réciproque c'est à dire si ln(1+x) équiv à x alors x tend vers 0
![]()
Indication :.
Raté, l'inégalité est dans le mauvais sens...
Euh j'ai deux questions :
1/ L'inégalité que tu m'as écrites est vraie grossomodo entre 0 et 1 et fausse à partir de 1 et quelques.. (à croire ma calculette)
2/ Comment as tu procédés pour cette majoration, ça tombe pas du ciel quand même![]()
Si on pose, on a
, du signe de
.
Doncadmet un minimum pour
, et ce minimum vaut
.
Par suite.
J'obtiens cet encadrement à partir des approximants de Padé (tu verras peut-être ce que c'est plus tard).
Mon idée est d'avoir une inégalitéde façon à obtenir une suite
qui tende vers 0, et à partir de laquelle il soit plus facile de prouver que
est de limite nulle.
Sinon, les restrictions deà
et à
sont des bijections de ces intervalles sur
.
Tu peux donc exprimer, suivant son signe, en fonction de
en utilisant l'une des bijections réciproques. Puis tu déduis la limite de
de la limite de
qui est nulle.
on montre facilement que la suite an est bornée par la même méthode que le premier exercice.
soit l une valeur d'adhérence de la suite an alors elle vérifie
L(1+l)-l égale zéro
Il suffit de remarquer que L(1+x)-x ne s'annule qu en zero.
l vaut donc zero
la suite admet donc une unique valeur d'adherence elle converge donc vers cette dernière.
vu que la fonctions change en fonction des indices.il faut encore quelques lignes pour terminer votre démonstration
j'ai suivie la méthode de God's Breath, ca m'a prit du temps à comprendre. J'essayerai de voir la tienne demain ! Et peut être si on corrige ça demain je vous donnerai la méthode du prof. Merci pour tout![]()