Convergence de suites

[mx6]

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire cet exo :

Soit . Soit une suite dans P, et tel que : converge. Montrer que sa limite est de la forme avec .

Merci d'avance
-----

[God's Breath]

Bonjour,

Une idée : démontre que la suite est bornée.
Il suffit alors de considérer une valeur d'adhérence de cette suite.

[mx6]

Bonjour God's Breath, c'est un plaisir de te voir toujours sur ce forum !

Je pense que pour montrer que la suite est bornée, il faut le faire par l'absurde. Si elle n'est pas bornée, alors elle tends vers l'infini. (on vient de faire le cours sur les normes, la notion de convergence, c'est toujours lié aux normes non ?).
Or un polynôme est toujours équivalent à son coefficient et terme de plus haut degrés en + infinie, donc va tendre vers l'infini..
D'où nécessairement est bornée.
Donc par BW, il existe une application : croissante tel que : , donc est une valeur d'adhérence.

Donc ?? là je n'arrive pas à conclure ^^

[God's Breath]

Si elle n'est pas bornée, alors elle tends vers l'infini. (on vient de faire le cours sur les normes, la notion de convergence, c'est toujours lié aux normes non ?).

Pas vraiment : la suite de terme général n'est pas bornée, mais ne tend pas vers l'infini. Il faut être un peu plus fin.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mx6]

Pas vraiment : la suite de terme général n'est pas bornée, mais ne tend pas vers l'infini. Il faut être un peu plus fin.

Euh elle n'est pas bornée par 0 et 2 ? o_O

[mx6]

Oui enfin, je vois l'erreur : si on considère cette suite :

[God's Breath]

Oui, c'est ça, je voulais écrire pour avoir une suite qui admet des sous-suites bornées, et des sous-suites non bornées.

[invitea6816ba4]

Si la suite est non borné tu peux en extraire une suite qui tend vers plus l'infini en norme et conclure par ce que tu viens d 'avancer

[invitea6816ba4]

on peut montrer directement aussi que l'ensemble Q(P) est fermé sans passer par les suites......

[mx6]

on peut montrer directement aussi que l'ensemble Q(P) est fermé sans passer par les suites......

On a pas encore étudier la notion d'ouvert ou de fermé bien comme il faut.

Par contre ta première idée est intéressant, c'est ce que je me disait mais du mal à l'exprimer si une suite est non bornée, alors l'ensemble , avec A réel fixé, est infinie. Quitte à mettre de l'ordre dans cette ensemble, on peut trouver une sous suite qui tend vers l'infini on la note . Et donc ne converge pas. Cela entraine la non converge de en raisonnant par l'absurde.
Bon j'espère que cette démonstration est valable pour la première idée.
Maintenant que je sais qu'elle est bornée, et comme avant j'ai une valeur d'adhérence j'en fais quoi ?

[God's Breath]

Si tend vers , tend vers ...

[mx6]

Si tend vers , tend vers ...

Oui parfaitement d'accord ! Mais là faut montrer que est l'unique valeur d'adhérence de ?

[mx6]

Bon si ce que j'ai dis est bon.

Supposons que ne converge pas vers .

Alors tel que soit infinie. Donc on peut en extraire une suite qui est bornée comme et donc par BW, elle admet une sous suite qui converge vers différent de [TEX]z[TEX], et finalement ne sera pas convergente, enfin si jamais pose problème..

[God's Breath]

Mais là faut montrer que est l'unique valeur d'adhérence de ?

Non ! on demande de prouver que la limite de est de la forme , mais on ne demande pas à ce qu'il y ait unicité de .

[mx6]

Non ! on demande de prouver que la limite de est de la forme , mais on ne demande pas à ce qu'il y ait unicité de .

Ok, mais je n'ai pas compris l'énoncé alors. Ce qu'on vient de faire, c'est la preuve pour une sous suites de (z_n) ! Je ne comprend pas

[God's Breath]

Ce que tu viens de faire, à partir de l'hypothèse : la suite de terme général converge de limite .

1. Tu prouves que la suite de terme général est bornée, donc admet une valeur d'adhérence , limite d'une sous-suite de terme général .

2. Par extraction sur la suite convergente de terme général , est limite de la suite extraite de terme général .

3. Par continuité des fonctions polynomiale : .

Il reste à prouver que appartient au demi-plan .

Mais on peut avoir avec et car la restriction de à n'a aucune raison d'être injective.

[mx6]

Ah d'accord, je m'étais un peu perdu..

Pour l'instant je ne voit pas pourquoi on a pris une suite dans cet ensemble, car ce qu'on vient de faire n'a pas utilisé une hypothèse relevant de ça.
J'ai déjà fait un exo en sup où on montrait que cet ensemble est le demi plan de Poincaré et qu'il était convexe.. Donc je pense qu'il faut utiliser la convexité ? Ou bien montrer que c'est un espace complet ?

[God's Breath]

Il suffit de calculer la partie imaginaire de la valeur d'adhérence .

[mx6]

C'est tout simple ?

On écrit alors comme , alors cette suite ne peut pas converge vers un réel ou .

[God's Breath]

C'est tout simple ?

Oui, c'est la partie facile de l'exercice.

[mx6]

lol au début on se dit que c'est la partie la plus dure.. merci en tout cas !

Maintenant j'ai un autre exercice, je ne sais même pas comment le commencer, c'est le premier du genre que je fais :

Montrer que la convergence de la suite vers 0 entraine celle de vers 0.. On voit bien que c'est du développent limité type : en 0, mais voilà j'ai jamais vu de réciproque c'est à dire si ln(1+x) équiv à x alors x tend vers 0

[God's Breath]

Indication : .

Raté, l'inégalité est dans le mauvais sens...

[mx6]

Euh j'ai deux questions :

1/ L'inégalité que tu m'as écrites est vraie grossomodo entre 0 et 1 et fausse à partir de 1 et quelques.. (à croire ma calculette)
2/ Comment as tu procédés pour cette majoration, ça tombe pas du ciel quand même

[God's Breath]

Si on pose , on a , du signe de .
Donc admet un minimum pour , et ce minimum vaut .
Par suite .

J'obtiens cet encadrement à partir des approximants de Padé (tu verras peut-être ce que c'est plus tard).

Mon idée est d'avoir une inégalité de façon à obtenir une suite qui tende vers 0, et à partir de laquelle il soit plus facile de prouver que est de limite nulle.

Sinon, les restrictions de à et à sont des bijections de ces intervalles sur .

Tu peux donc exprimer , suivant son signe, en fonction de en utilisant l'une des bijections réciproques. Puis tu déduis la limite de de la limite de qui est nulle.

[invitea6816ba4]

on montre facilement que la suite an est bornée par la même méthode que le premier exercice.

soit l une valeur d'adhérence de la suite an alors elle vérifie
L(1+l)-l égale zéro

Il suffit de remarquer que L(1+x)-x ne s'annule qu en zero.
l vaut donc zero

la suite admet donc une unique valeur d'adherence elle converge donc vers cette dernière.

[invitea6816ba4]

vu que la fonctions change en fonction des indices.il faut encore quelques lignes pour terminer votre démonstration

[mx6]

j'ai suivie la méthode de God's Breath, ca m'a prit du temps à comprendre. J'essayerai de voir la tienne demain ! Et peut être si on corrige ça demain je vous donnerai la méthode du prof. Merci pour tout