Dénombrement

[invite6babec09]

Bonjour,
J'ai un exercice qui consiste à démontrer pour tout entier naturel n :
(n parmi 2n) inférieur ou égale à 4ⁿ.
Est-ce que quelqu'un pourrait me donner une piste pour démarrer car je suis vraiment bloqué. Merci beaucoup
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[invite57a1e779]

Par récurrence ?

[invite6babec09]

J'y ai bien pensé mais je n'aboutis à rien.

[Médiat]

Bonjour,
Montrez-nous vos calculs qui n'aboutissent pas, car ici la récurrence est vraiment basique

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6babec09]

Soit pour tout n entier naturel la proposition P_n : " (n parmi 2n inférieur ou égale à 4ⁿ)
Pour n=0 (0 parmi 0)=1 et 4⁰=1 donc P₀ est vrai.
Soit n un entier naturel tel que P_n soit vrai.
(n+1 parmi 2n+2) = (2n+2)!/((n+1)²) = (2n! * (2n+1) * (2n+2))/(n!*(n+1)²)
et la je ne sais pas comment m'en sortir.

[Médiat]

Si on écrivait ça :




Vous devriez reconnaître là-dedans.

[invite6babec09]

Oui bien sur on a C_n²ⁿ * (2n+1)(2n+2) / (n+1)². Mais pour utiliser l'hypothèse de récurrence je ne comprend pas.

[invite6babec09]

Pardon, C_2nⁿ

[Médiat]

Quelle est votre hypothèse de récurrence ?

PS : on peut simplifier votre dernier calcul.

[invite6babec09]

Que C_2nⁿ est inférieur ou égale à 4ⁿ

[Médiat]

donc en reprenant votre message #7, vous pouvez écrire .... <= 4ⁿ ...

[invite6babec09]

C_2nⁿ (2n+1)(2n+2) / (n+1)² < 4ⁿ (2n+1)(2n+1) / (n+1)²
Mais je ne comprend pas le rapport avec le terme 4ⁿ quand n vaut n+1

[invite57a1e779]

Il faudrait peut-être simplifier pour y voir plus clair.

[Médiat]

Donc vous avez montré que



Une simplification, une astuce et vous aurez montré que

[invite6babec09]

Je n'arrive pas à simplifier plus que cela :

2(2n+1)/(n+1)
Est-ce que c'est suffisant ??

[Médiat]

Et maintenant l'astuce : 4n+2 = 4n+4 - 2

[invite6babec09]

D'accord mais j'obtiens 4(n+1)-2/(n+1) ce qui est différent de 4

[Médiat]

Vous obtenez dont vous pouvez dire quelque chose dans le cadre d'une inégalité.

[invite6babec09]

4 - 2/(n+1) < 4 donc C_2n+2ⁿ⁺¹ inférieur ou égale à 4ⁿ⁺¹ c'est ça ??

[Médiat]

Tout simplement

[invite6babec09]

ok merci beaucoup de m'avoir aidé. Je vais pouvoir finir mon exercice.