Dénombrement

[invitec57ba9ee]

On effectue le lancer de n dés.Chaque dé est numéroté de 1 à 6 .
Quel est le nombre de combinaisons possibles sachant que l'ordre ne compte pas (par exemple ,avec n=3, 123 et 312 sont une même combinaison) ?
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[invitec053041c]

Bonjour.
Je dirais 6^n (mais bon le dénombrement et moi, ça fait 2, c'est le cas de le dire )

[invited78e0bbb]

Ca ne marche pas car l'ordre ne compte pas, pour n=2 je trouve 31 possibilités.

[invite3478a1d3]

En résolvant une petite récurrence, on trouve que, si tu as dés numérotés avec les chiffres de 1 à , alors le nombre de combinaisons possibles différentes modulo réordonnancement est donné par la formule :
.
En particulier, dans ton cas, . D'où le résultat :
.
Tu veux la preuve ou est-ce inutile?
Au passage, pour 2 dés à 6 faces, je ne trouve que 21 possibilités en les énumérant toutes, et pas 31.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited78e0bbb]

oui c'est tout à fait ca d'ailleur je viens de voir que j'ai écrit 31 à la place de 21 ....

[invitec57ba9ee]

Je veux bien la preuve stp Kacsou

[invitec57ba9ee]

Quelqu'un aurait la preuve svp ?

[invite35452583]

En attendant Kacsou qui a peut-être une autre preuve.
C'est vrai pour tous les entiers k>0, pour n=1.
Supposons vrai pour tous les jusqu'au rang n.
pour le rang n+1, soit k un entier>0 quelconque, on écrit les possibilités de manière ordonnée :
a1<=a2<=a3<=...<=a(n+1)
Cas a1=1->on a le même nombre que pour (n,k)
cas a1=2->on a le même nombre que pour (n,k-1)
...
cas a1==k->on a le même nombre que pour (n,k+1-k=1)
J'écris les coeeficients binomiaux en ligne, on a au total en partant du cas a1=k en remontant au cas a1=1 :
(n,n)+(n+1,n)+(n+2,n)+...+(n+k-1,n)
=(n,0)+(n+1,1)+(n+2,2)+...+(n+ k-1,k-1) (en utilisant l'égalité (N,i)=(N,N-i))
=[(n+1,0)+(n+1,1)] +(n+2,2)+...+(n+k-1,k-1) (en utilisant (N,0)=1 pour tout N)
=[(n+2,1)+(n+2,2)] +(n+3,3)+...+(n+k-1,k-1) (en utilisant (N,i-1)+(N,i)=(N+1,i))
= [(n+3,2)+(n+3,3)] +(n+4,4)+...+(n+k-1,k-1) (en utilisant l'égalité précédente...)
=[(n+k-1,k-2)+(nk-1,k-1)]
=(n+k,k-1)
=(n+1+k-1, n+1) (en utilisant l'égalité (N,i)=(N,N-i))
(Il faudrait une démo par récurrence sur k pour formaliser tout ça mais bon...)
La propriété est donc vraie pour tous les k au rang n+1.

[invitec57ba9ee]

Merci homotopie.
Mais il n'y aurait pas une preuve directe (sans procéder par récurrence)?

[acx01b]

salut

n dés qu'on lance tous en même temps sans les distinguer:
ou n lancés du même dés, mais où l'ordre ne compte pas

nombre de possibilités:
S(6,n) = C(n+6-1, n) = C(n+5,5)

donc pour n = 2 on a 21 possiblités

cherche sur google:
combinaison avec répétition
k-combinaison
sélection
bijection entre application strictement croissante et application croissante

la notion d'application croissante elle vient du fait que pour n = 4
tu peux avoir 1332, 3132, 3312 comme tirages avec tes dés.... qui sont tous le même tirage
si tu ranges ces 4-upplets tu obtiens
1233 pour tous
l'application croissante c'est f : {1,2,3,4} --> {1,2,3,4,5,6}
f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3, f(4) = 3

c'est facile à démontrer que tu peux mettre cette application en bijection avec une application g : {1,2,3,4} --> {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
en posant g(i) = f(i) + i - 1
ça marche car si f(1) = 1, alors g(1) = 1, et si f(4) = 6, g(4) = 9
g est bien une application strictement croissante (donc une combinaison)

et il y a autant de f différents que de g différents, donc autant de combinaison avec répétition (n , p ) que de combinaison de (n+p-1 , p)

[invite35452583]

c'est facile à démontrer que tu peux mettre cette application en bijection avec une application g : {1,2,3,4} --> {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
en posant g(i) = f(i) + i - 1

L'astuce du g m'avait échappé.
Histoire d'être tatillon, il faudrait quand même reformuler le début : l'application qui à f associe g est une bijection (+) de l'ensemble des fonctions croissantes (n->p) dans l'ensemble des applications strictement croissantes (n->p+n-1).(++)

(+) :construire la réciproque et vérifier que c'est bien la réciproque est facile.
(++) : Vérifier que f->g va bien des croissantes dans les strictement croissantes à valeurs dans {1,...,p+n-1} et g->f va des strictement croissantes dans les croissantes à valeurs dans {1,...,p} est facile aussi.