Problème de normes

[invite9a322bed]

Bonsoir,

Je rencontre un problème sur une question voici les résultats démontrés avant :
. On pose . On vérifie facilement que : est une norme.
Ensuite, on pose : avec l'ensemble des polynômes de degrés unitaires. On montre aussi en posant que .

La question qui me pose problème est la suivante : Montrer que : .

Je sens bien qu'il faut dans un premier temps il faudra montrer que : Si on prend un polynôme de degrés et un autre de degrés que : .. Mais après si on arrive à montrer ça comment conclure ? Car peut être c'est évident mais difficile à expliquer... Merci
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Comme et , alors , ce qui permet d'écrire : .

Il ne reste plus qu'à passer à la borne inférieure sur , puis sur .

C'est une manipulation de bornes inférieures, similaire à la manipulation de bornes supérieures qui permet d'obtenir : .

[invite9a322bed]

: .

Merci, je pense avoir compris pour la deuxième partie, mais cette inégalité je ne vois comment la montrer..

[invite10ceed08]

mx6:
A ce niveau la tu as fais le plus difficile
Soit z (il en existe) tel que;
sup[U]module(PQ)=module(P(z)).module (Q(z))

je suis sur que tu vois comment majorer les deux termes du produit a droite de l'egalite


God's breath:
Pour etre rigoureux est ce qu'il ne faut pas quand meme mentioner que tout element M de H(p+q) peut se decomposer sous la forme M=PQ (avec P dans Hp et Q dans Hq)?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Non. Dès que est élément de , et de , on a élément de et on a . Peu importe que décrive tout ou seulement une partie.

[invite9a322bed]

Bonsoir,

Désolé pour le retard, j'ai du faire un DM de physique entre temps

Donc pour une rédaction optimale :

Soit tel que : on a mais là je ne sais pas vraiment..désolé j'ai du mal avec ces notions :X

[invite57a1e779]

Non, la bonne rédaction est :

Soit , alors avec , donc .

On a obtenu un majorant de sur , d'où, par définition de la borne supérieure : .

[invite9a322bed]

Je te remercie.

Maintenant pour la suite :

On a toujours :

Mais mais par ce qui précède, on est sur qu'il existe tel que : d'où . Ca marche ?

[invite57a1e779]

on est sur qu'il existe tel que :

Je ne pense pas que ce qui précède fournisse cette existence.

Il suffit de dire que a pour borne inférieure , que l'on a obtenu comme minorant, et d'utiliser la définition de la borne inférieure.

[invite9a322bed]

Ok merci pour l'aide ! J'ai encore du travail pour maitriser ces notions

[invite9a322bed]

Re !

Encore une fois, y a une question qui me bloque

On a montré auparavant que : (enfin on nous a demandé de comparer, mais j'ai trouver que c'est égale, car quand z décrit U, z² décrit U aussi..
De ça on a posé et on a montré que : .
On me demande d'en déduire la valeur de sauf que j'ai assez cherché, je ne vois rien d'évident qui mérite le "en déduire"..

Résultat qui peut vous être utile si vous voulez m'aider :

[invitea07f6506]

Bonsoir,

Pour commencer, je soupçonne que vous avez montré que, pour tout polynôme, . Ca n'a aucune importance pour la suite, mais faites un peu attention aux notations (c'est comme tout, ça s'apprend).

Si j'ai bien compris, vous avez aussi montré que . Si on prend maintenant l'infimum sur de degré , on en déduit que . Sachant que , cela ne laisse que deux valeurs possibles pour . Après, j'ai des arguments pour éliminer l'une de ces deux valeurs, mais je ne suis pas sûr qu'ils soient adaptés votre niveau (j'aurais besoin par exemple d'un chouia de topologie sur les espaces vectoriels). Quelqu'un d'autre aura peut-être une meilleure idée...

[invitea07f6506]

Avez-vous déjà appris le théorème selon lequel "toutes les normes sur un espace vectoriel réel de dimension finie sont équivalentes" ? Si oui, en l'appliquant à et à une autre norme bien choisie de , il est possible de conclure. C'est la méthode la plus simple que je vois. Mais, comme toujours, si je rate quelque chose...

[invite9a322bed]

Je te remercie Garf

Je pense avoir compris : On considère la norme : pour un polynôme . Comme est de dimension finie alors les normes sont équivalentes, donc il existe tel que : comme alors il minore donc ? Je sais ca bug un peu...à vrai dire j'ai jamais eu l'occasion d'utiliser ça c'est la première fois, le cours date de moins de deux jours :X