Propriété du spectre d'une matrice

[IanCurtis89]

Bonjour,

J'ai la propriété suivante :
Soit une matrice et un polynôme. Alors :


J'arrive à montrer l'inclusion réciproque, mais je ne vois pas comment montrer l'inclusion "". Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Merci d'avance!

IC
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[invitea6816ba4]

Trigonalise ca fera l'affaire

[acx01b]

bonjour

comment écrirais-tu q(A) ?

[invitea6816ba4]

Aprés avoir trigonaliser tu ne vas t'interesser qu'aux termes diagonaux.
tu vas remarquer que ces derniers se comportent bien par rapport aux passage au polynôme.
Pour conclure ,calcule le polynôme caractéristique qui ne change pas pour deux matrices semblable.

[A voir en vidéo sur Futura]

[IanCurtis89]

Aprés avoir trigonaliser tu ne vas t'interesser qu'aux termes diagonaux.
tu vas remarquer que ces derniers se comportent bien par rapport aux passage au polynôme.
Pour conclure ,calcule le polynôme caractéristique qui ne change pas pour deux matrices semblable.

Je ne vois pas où la trigonalisation va me mener... Si je trigonalise, j'obtient une matrice T semblable à A dont les coefficients diagonaux sont les valeurs propres de A, et j'ai certes et mais je ne vois pas où cela me conduit.

En somme, je suppose que : donc que et je veux montrer qu'alors, nécessairement, il existe tel que .

Je pars donc de et, suivant votre conseil, je trigonalise. Seulement, après?

Pouvez-vous, s'il vous plait, détailler un petit peu! Merci beaucoup.

IC

[acx01b]

ou en utilisant la décomposition
http://en.wikipedia.org/wiki/Jordan%...ition#Matrices
et le tour est joué

[invitea6816ba4]

Lorsque vous allez trigonaliser,calculer le polynôme en A avec la matrice A trigonalisée vous allez trouver que les éléments diagonaux du polynôme en A sont des polynomes en les élements diagonaux de A.