Propriété métrique, distance , boule dans Rn

[invitea3396dc0]

Bonsoir,

Voilà je planche depuis hier soir sur mon 1er TD, je suis en licence éco et je viens de reprendre mes études, si vous avez des conseil, pouvez vous etre svp le plus comprehensible possible, merci d'avance.

voilà on me demande Dessiner dans R2, pour chacune des distances suivantes, une boule de centre O(1,0) et de rayon 2.

d1(x,y) = ((x1 – y1)2 + (x2 – y2)2)1/2
d2(x,y) = |x1 – y1| + |x2 – y2|
d3(x,y) = Max(|x1 – y1|,|x2 – y2| )

pour d1 j'ai compris d'apres le cours qu'il s'agit d'une norme euclidienne mais je ne vois pas du tout comment dessiner quoi que ce soit ou est x1 et y1 ? x2 et y2 ?

le prof nous a dit que selon la métrique utilisé ca change la forme de la boule, merci encore pour votre aide !!
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[invited5b2473a]

Je suppose que x1 et x2 désignent respectivement l'abscisse et l'ordonnée de x, et y1 et y2, de y.

[invite00970985]

Bonsoir Berrichi,
On te demande de tracer des boules pour certaines distances. Je te rappelle la définition de [\tex]B(a,r) := \{x\in \mathbb(R)^2 ; d(x,a) < r\}[/tex] avec a dans R² et r >0.

Autrement dit, B((1,0),2), c'est l'ensemble des points qui sont à une distance inférieure à 2 du point (1,0).

Pour d1, comme tu le dis, il s'agit de la distance euclidienne, la distance "usuelle". Tracer cette boule ne doit donc pas te poser de problèmes : cela revient à te demander de tracer le cercle de centre (1,0) et de rayon 2.

Pour les autres, il faut réfléchir un peu plus, voir quels points sont à distance 2 de (1,0).

Sébastien

[invitea3396dc0]

Un grand merci à vous

Je vais essayer de tracer les suivantes, merci pour vos conseil !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3396dc0]

Re bonsoir et merci a indian58 et sébastien

Bon j'ai bien réfléchis et pour la d2 j'en suis venu à me dire que :

-2<x1<2 et -2<x2<2 ca l'air de ressembler à un carrée mais je n'ai toujours pas compris a quoi sert x2 et y2 ??

[invite00970985]

Re bonsoir et merci a indian58 et sébastien

Bon j'ai bien réfléchis et pour la d2 j'en suis venu à me dire que :

-2<x1<2 et -2<x2<2 ca l'air de ressembler à un carrée mais je n'ai toujours pas compris a quoi sert x2 et y2 ??

Tu as l'air d'avoir trouvé la boule de centre (0,0) et de rayon : l'ensemble [-2,2]x[-2,2]. C'est effectivement un "carré" ; mais en fait tout dépend de la distance que tu utilise. Pour la distance d2, cet ensemble est une boule (ou plutôt un cercle vu qu'on est en dimension 2).

Pour le "x2" et "y2" : dans le cadre de ton exo, quand on écrit "d(x,y)", x et y sont considérés comme des points de R², on peut donc écrire : x=(x1,x2) et y=(y1,y2), comme des vecteurs ; autrement dit, x1 est l'abscisse du point x et x2 est son ordonnée (pareil pour y).

Est-ce plus clair ?

Sébastien

[invitea3396dc0]

Merci pour ton éclaircissement sébastien, ok pour les vecteurs x=(x1,y1) et y= (x2, y2)

J'ai pris un point y au hasard y(1,2) sur mon cercle de centre o (1,0) maintenant que j'ai mes deux coordonnées je les "mets" dans mes formules pour d1,d2,d3.

et je trouve pour d1=racine de 2
norme euclidienne=longueur du vecteur=rayon du cercle
j'obtiens donc le rayon du cerle r=2
et comme tu m'a dit il faut faire un cercle de centre (1,0) et de rayon 2, à priori ça j'ai compris.

tu m'as dit de chercher les points à une distance de 2 de (1,0)

je trouve: -1<x1<3 et -2<x2<2 ce qui forme un carré au lieu d'un cercle

et pour d2 (x,y) = 2 , ai-je bien tout saisi ??

en te remerciant d'avance

[invite00970985]

Merci pour ton éclaircissement sébastien, ok pour les vecteurs x=(x1,y1) et y= (x2, y2)

J'ai pris un point y au hasard y(1,2) sur mon cercle de centre o (1,0) maintenant que j'ai mes deux coordonnées je les "mets" dans mes formules pour d1,d2,d3.

C'est ça.

et je trouve pour d1=racine de 2
norme euclidienne=longueur du vecteur=rayon du cercle
j'obtiens donc le rayon du cerle r=2
et comme tu m'a dit il faut faire un cercle de centre (1,0) et de rayon 2, à priori ça j'ai compris.

Je ne comprends pas cette partie ...

tu m'as dit de chercher les points à une distance de 2 de (1,0)

je trouve: -1<x1<3 et -2<x2<2 ce qui forme un carré au lieu d'un cercle

Pour d2, je me suis trompé, les boules ne sont pas des carrés de ce type. Regarde par exemple le point x=(2.9,1.9), et calcule d2(x,(1,0)), tu trouveras que c'est supérieur à 2.