Suite à valeurs dans un evn

[inviteec33ac08]

Bonsoir,

Soit u une suite de l'evn E. On suppose les quatres suites extraites (u3n), (u3n+1), (u3n+2) et (u7n+1) sont convergentes.
Démontrer que u est convergente.

Je pense qu'il faut utiliser la notion de suite extrainte n'est ce pas ?

Merci de votre aide =)
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[invite57a1e779]

Je pense qu'il faut utiliser la notion de suite extrainte n'est ce pas ?

Très bonne intuition.

[inviteec33ac08]

Mais qu'elle propriété doit je utiliser ?

[inviteec33ac08]

Dans mon cours jai si u(2n+1) et u(2n) converge vers l dans (E, ||.||), alors la suite un converge vers l dans (E, ||.||) mais comment l'appliquer ? vu que je n'ai pas u2n et u2n+1 ? Merci de votre aide =)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Mais il ne suffit pas que et convergent pour que converge ?

[invite57a1e779]

Les quatres suites extraites (u_3n), (u_3n+1), (u_3n+2) et (u_7n+1) sont convergentes ; il faut commencer par établir qu'elles ont la même limite.

[Seirios]

Mais il ne suffit pas que et convergent pour que converge ?

Je n'ai rien dit, ce serait suffisant si les trois suites avaient la même limite, ce qui n'est pas nécessairement le cas, d'où l'importance de la quatrième suite.

[inviteec33ac08]

Ben déjà je sais qu'elle sont toutes les 4 convergentes donc on peut appeler leur limites l1, l2, l3 et l4 mais apres pour montrer que leur l1=l2=l3=l4 comment faut il s'y prendre ?

[thepasboss]

Bonsoir,

Combien de fois 7n+1 est-il un multiple de 3 ? Combien de fois est il de la forme 3k +1 ? Et de la forme 3k+2 ?

[inviteea028771]

Par exemple montrer qu'une suite extraite de la première est égale à une suite extraite de la 4eme suite, donc que ces suites extraites ont même limite.

[inviteec33ac08]

Pour répondre à tes questions thepasboss
1/ 2 fois pour n=2 et n=5
2/ 3 fois pour n=3 et n=6 et n=0
3/ 2 fois pour n=1 et pour n=4

Ok mais en fait je ne peut pas en conclure que 2 suites vont être égale étant donné que il y aura certaines conditions non ? Je dois raisonner par disjonction des cas ?

[thepasboss]

Pour répondre à ta réponse : Moui, mais t'es sur qu'il y a que ceux là ?

[inviteec33ac08]

ben tu veux dire que je dois dire n=2k au lieu de n=2 par exemple ?

[thepasboss]

Non, si n parcours tous les entiers, alors je te demande combien de fois la suite 7n+1 sera un multiple de 3.
1 fois ? 12 fois ? une infinité de fois ?

De la même manière, combien de fois la suite 7n+1 sera de la forme 3k+1 ?

[inviteec33ac08]

On utilise les congruences 7 est congru à 4 modulo 3
donc 7n +1 est congru à 4n+1 modulo 3 non ?

[Médiat]

Soyons simple :



(Situation qui se reproduira pour chaque paires de nombres premiers entre eux, grande source d'exercices.)

Ces trois petites remarques devrait vous permettre de travailler facilement sur la suggestion de Tryss message #10.

[inviteec33ac08]

Donc j'en déduis après ces congruences qui permettent de dire que les suites extraites converge vers la même limite que u converge ?

[inviteea028771]

Quel est le rapport entre la suite extraite et la suite extraite

Et si la suite converge, quelle est la limite de la suite extraite ?
De même pour la suite et la suite extraite

[inviteec33ac08]

Ben pour 1/ elles sont égales
pour 2/ si U3n converge vers l alors U(3(7n+5)) converge vers l. Et pareil pour 3/ car 7n+5 est une application strictement croissante pareil pour 3n+2.

[Médiat]

Donc j'en déduis après ces congruences qui permettent de dire que les suites extraites converge vers la même limite que u converge ?

Tout simplement
La suite U_7k+1, pour k multiple de 3 est à la fois extraite de U_7n+1 et extraite de U_3n+1, elle converge donc à la fois vers la limite de U_7n+1 et vers la limite de U_3n+1, qui sont donc égales