les valeurs d'adherence d'une suite sont connexe

[invitea6816ba4]

Soit E un espace normé compact,soit Un une suite tel quel
la distance entre deux termes consécutifs tend vers zero
Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de cette suite est connexe.
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[Médiat]

Bonjour,


"Bonjour", "S'il vous plait", "merci" etc. ne sont pas des termes optionnels ; de plus vous demandez que l'on résolve votre problème sans même nous avoir montré que vous avez travaillé.

Je souhaite que personne de vous donne de réponses tant que vous n'aurez rectifié ces deux points.

Cordialement

[invitea6816ba4]

Je ne demande pas une réponse,juste une recherche collective.
Pourquoi dire bonjour,je pense qu'il vaut mieux passer à l'essentiel.
Pour la recherche

J'ai pensé à utiliser la caractérisation des valeur d'adhérence d'une suite par l'intersection des adhérences.
Ensuite,j'ai essayé de procéder par absurde en supposant que l'ensemble peut se mettre comme réunion de deux fermés disjoints.Je n'ai pas réussis encore à trouver une contradiction.
Je ne vois comment on va utiliser le fait que la distance entre deux termes consécutifs de la suite tend vers zero

[Médiat]

Pourquoi dire bonjour,je pense qu'il vaut mieux passer à l'essentiel.

Parce que c'est dans la charte de ce forum que vous avez signée, et à laquelle vous devez vous astreindre :


2. La courtoisie est de rigueur sur ce forum : pour une demande de renseignements bonjour et merci devraient être des automatismes. Vous pouvez critiquer les idées, mais pas les personnes.


Médiat, pour la modération.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea6816ba4]

Vous avez raison si c'est dans la charte.

[invite986312212]

c'est bizarre cette notion d'espace normé compact, ça doit être plutôt une partie compacte d'un espace normé (?).

[invitea6816ba4]

oui c'est une partie compact.Tout espace vectoriel non identiquement nul est non borné donc non compact.aucune idée sur l'exercice?

[invited5b2473a]

Soit E un espace normé compact,soit Un une suite tel quel
la distance entre deux termes consécutifs tend vers zero
Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de cette suite est connexe.

Traduis mathématiquement les termes de l'énoncé ainsi que la définition de la connexité. Ensuite, cela vient naturellement. Et faire un schéma peut aider!

[invitea6816ba4]

Rebonsoir
Quelques idées en vrac

si on suppose que l'ensemble est connexe alors il est l'union de deux fermés disjoint
l'ensemble des valeurs d'adherence est compacte donc la distance entre les deux fermé est strictement supérieur à zero.
en effet l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite est l'intersection sur p appartenant à N des adhérence des terme de la suite tronqués au p éme termes
ceci est un fermé donc un compact
si on note C et D ses deux fermés on prend un element x de C et y de D alors on peut les approcher par deux extractions de la suite mère.
J'ai fait un shéma.
Je ne vois pas comment trouver l'absurdité.

[invite435df26c]

Interessant cette question...
Mais au fait ca ressemble a quoi? Et bien par exemple on peut imaginer une sorte de spirale qui s'enroule autour d'un cercle
Je vais y reflechir plus demain mais comme une precedente reponse l'indiquait pour ce genre de problemes il suffit d'ecrire les definitions

[invitea6816ba4]

C'est ce que je viens de faire dans le message précédant
Ce qui me bloque c'est comment utiliser le fait que la différence entre deux termes consécutifs tend vers zero

[invite57a1e779]

'ensemble des valeurs d'adherence est compacte donc la distance entre les deux fermé est strictement supérieur à zero.

Soit cette distance

Ce qui me bloque c'est comment utiliser le fait que la différence entre deux termes consécutifs tend vers zero

A partir d'un certain rang , la distance entre deux termes consécutifs est strictement inférieure à .
La suite est donc coincée dans un des fermés, et il lui est difficile d'aller approcher des valeurs d'adhérence dans l'autre... et voilà la contradiction.

Reste à mettre en forme.

[invitea6816ba4]

J'y ai pensé seulement lors de l'extraction on a plus de termes consécutifs et donc par un effet de cumul tel une série convergente les distances entrer deux termes consécutif de l'extraction pourra devenir assez grandes pour sortir du fermé.
J'explique si par exemple on enveloppe l'un des fermé par les élements de distances inférieur à d sur 4 à ce dernier on peut trés bien trouver une extraction tel qu'elle sort du fermé et son envelope et dont les termes consécutifs de la suite mère situés entre les termes consécutif de l'extraction vérifie l'inégalité que vous avez donné.

[invite57a1e779]

Lorsque les termes de la suite doivent passer du voisinage d'une valeur d'adhérence (distance < d/4) au voisinage d'une autre valeur d'adhérence (distance < d/4), il faudra avoir des termes qui s'éloignent des fermés (distance > d/4), et ces termes qui se trouvent "entre les fermés" constituent une sous-suite qui n'a pas de valeur d'adhérence, alors qu'on travaille dans un compact.

[invitea6816ba4]

Bonne idée il suffit juste de justifier le caractére non fini de ces derniers.

[invitea6816ba4]

On peut le faire avec l'absurde.Supposons que les termes qui sortent des deux voisinages est fini.notons p la différence entre l'indice maximal et minimal de ces termes. on considére alors le terme dincide l'indice maximal plus n zero et le terme d'indice maximal plus zero plus 1.
ces deux termes sont nécessaiement dans les deux voisinages.
on trouve facilement une absurdité en traitant les cas et en utilisant le fait que la différence entre deux terme consécutif peut être minimisé tant qu'on veut.

[invitea6816ba4]

D'autres idées?

[invite435df26c]

Soit A l'ensemble des valeurs d'adherence
Pour chaques "a" de A je me donne un boule ouverte b(a,epsilon) ou espilon est la diametre de la boule.
Maintenant soi A(epsilon) l'union des b(a,epsilon) pour tout "a" de A.
En fait A(epsilon) est une sorte de version grossiere de A.

On suppose que A n est pas connexe.
Alors pour epsilon assez petit A(epsilon) n'est pas connexe non plus.
Il existe une distance minimum entre les differentes composantes connexe de A(epsilon) notee "d".

Pour n assez grand la distance entre deux termes est inferieures a "d" donc la suite va passer dans E(epsilon)=E-A(epsilon).
On peut donc extraire de la suite initiale une suite qui ne prend ses valeurs que dans E(epsilon)... cette suite admet au moins une valeur d'adherence dans E(epsilon) or c'est aussi une valeur d'adherence de la suite initiale... donc nous avons demontre qu'il existe des valeurs d'adherences qui ne sont pas dans A ce qui est absurde

[invited5b2473a]

Soit cette distance



A partir d'un certain rang , la distance entre deux termes consécutifs est strictement inférieure à .
La suite est donc coincée dans un des fermés, et il lui est difficile d'aller approcher des valeurs d'adhérence dans l'autre... et voilà la contradiction.

Reste à mettre en forme.

Mouadelassadi, traduis l'énoncé comme God's breath et le problème se clarifiera.

[invite10ceed08]

Aussi petite soit la distance d apres un nombre assez grand d'itarations il est possible de sortir d'un des fermes bornes.
Par contre il sera impossible de passer d'une composante a une autre dans passe par le complementaire de l'ensemble des adherents;
Comme je l'esquissais dans mon debut de demonstration precendent cela implique l'existence d'une infinite (une suite extraite) de point dans ce meme complementaire. Cette suite a au moins une valeur d'adherence dans le complementaire de l'ensemble des valeurs d'adherences d'ou l'absurdite.

[inviteac038092]

Presque bon mais pas tout à fait. Le complémentaire de l'ensemble des adhérents n'est pas compact.

Il faut que tu utilises la propriété de l'espace d'être normé. Tu décomposes l'ensemble des adhérents en composantes connexes. Du fait de sa compacité, Il existe une distance minimale non nulle entre deux composantes connexes.

Tu peux donc aggrandir chaque composante connexe d'une fraction de cette distance (d/4 par exemple), et tu fais ton raisonnement dans le complémentaire.

[invite10ceed08]

Bonjour PV

Ton point est exact c'est d'ailleurs ce que j'ai explique dans la version plus detaille precedente (postee sous le pseudo mzaradzki) ou j'introduit le complementaire de "A(epsilon)" qui est une version "elargie" de A ensemble des adherents.

Soit A l'ensemble des valeurs d'adherence
Pour chaques "a" de A je me donne un boule ouverte b(a,epsilon) ou espilon est la diametre de la boule.
Maintenant soi A(epsilon) l'union des b(a,epsilon) pour tout "a" de A.
En fait A(epsilon) est une sorte de version grossiere de A.

Pour n assez grand la distance entre deux termes est inferieures a "d" donc la suite va passer dans E(epsilon)=E-A(epsilon).
On peut donc extraire de la suite initiale une suite qui ne prend ses valeurs que dans E(epsilon)

[invitea6816ba4]

Pour clarifier l'idée de god'sbreath

si on suppose qu'il y a un nombre fini de terme qui ne sont ni dans le voisinage du premier fermé ni dans le voisinage du deuxieme fermé alors on pose P l'indice maximal des termes qui n'est pas dans ces deux voisinages.
pour n supérieur à p les termes de la suite sont soit dans le voisinage du premier fermé soit dans le voisinage du deuxiéme.
or si un terme est par exemple dans le voisinage du premier fermé le terme suivant ne peut étre dans le voisinage du deuxième fermé car sa distance au deuxiéme fermé est supérieur à d sur 4 par une inégalité triangulaire renversé.donc il sera dans le voisinage du premier fermé.
ce qui est absurde en prenant une valeur d'adhérence dans le deuxieme fermé(par hypothése de connexité il est non vide) les termes de l'extraction seront dans son voisinage à partir d'un certain rang.

si les indices hors voisinage ne sont pas en nombre fini on peut extraire une suite de ces dernières.
hors n'oublions pas que l'ensemble hors voisinage est un fermé comme complémentaire de la réunion des deux voisinages qui sont des ouverts.donc c'est un compact et donc notre dernieres suite extraite aura une valeur d'adhérence dans la partie hors voisinage
absurde car les valeur d'adhérence ne peuvent être incluses que dans les deux fermés dont l'intersection avec la partie hors de leurs voisinage est vide.

conclusion on a une absurdité
et l'espace est connexe

[invitea6816ba4]

Qu'en pensez vous?

[invite57a1e779]

C'est un peu lourd, et je pense que l'on peut avoir une solution plus élégante, mais c'est bien l'idée générale.

[invitea6816ba4]

Pouriez vous alléger cette démonstration?