distance dans un evn quelconque

[malix]

Bonjour !!!

Petite question :

on sait que dans un espace de hilbert, la distance à un sous espace vectoriel de dimension finie est toujours réalisée et en un unique point.

on sait que dans un espace vectoriel normé quelconque, la distance à un sous espace vectoriel de dimension finie est toujours réalisée, mais pas forcément en un seul point.

est-il vrai que dans un espace vectoriel de dimension finie, la distance à un sous espace vectoriel de dimension finie est toujours réalisée en un unique point ?

si oui, quel est l'argument qui permet de conclure ?

merci beaucoup !!!


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[KerLannais]

Slt,

Même en dimension finie la distance peut ne pas être réalisée par un seul point, ce n'est pas un problème de dimension, c'est un problème de strict convexité de la boule unité de l'espace (il ne doit pas y avoir d'arc de cercle rectiligne). Cela dépend donc uniquement de la norme choisie. Par exemple si tu considère l'espace vectoriel réel:

muni de la norme:

le sous espace:

et le point:

la distance de à est 1 et est réalisée par tout les points:

pour

[invite769a1844]

Salut,

même en dimension finie, on a pas toujours unicité.
Pour trouver des contre-exemples, tu peux chercher dans muni de la norme ou de la norme . Par un dessin des sphères associées à ces deux normes, on débouche facilement sur des contre-exemples.

[Edit:] Grillé

[malix]

Merci à tous les deux d'avoir répondu si vite et de façon concrète !!!

[A voir en vidéo sur Futura]