Questions de Maths et Physiques

[invite20f23101]

Salut !
Je ne sais pas ou poser ces questions donc je les pose ici. Ils s'agit de questions d'ordre général de sciences « du supérieur » donc de niveau prépa.
Merci beaucoup de simplement lire les quelques questions que se pose un étudiant curieux. Désolé de vous importuner avec !

Si je posai ces questions à mes profs
→ Le cours avancerait beaucoup moins vite
→ Il aurait vite marre d'être mitraillé pour le simple plaisir de jouer avec des concepts
→ …

Libre aux administrateurs de déplacer ce message

P.S. : Le notations mathématiques sont en pseudo-code, c'est-à-dire par exemple : forall x in [a ; b]. Les crochets (sous Ooo par exemple) auraient été noté lbracket et rbracket ce qui est moins intuitivement compréhensible. Cela est nécessaire car je ne connais pas suffisemment de Tex pour m'en servir sur ce forum.

→ Le modèle de Drude des métaux, c'est bien ; y en a-t-il un autre plus finement représentatif de la réalité ?
→ Un truc marrant : tenter une généralisation (qualitative ; si quantitative, y a-t-il des bourrins dans la salle ?) du théorème d'Ostrogradsky à des espaces de dimension n in N.
→ Peut-on généraliser les séries de Fourier (ou même transformation) à des fonctions non dérivables voire non continues ou non définies sur tout R ?
→ Il existe des laisons NP, NPN, PNP ; quels seraient l'utilité et le sens de jonctions NPNP, etc ?
→ Les opérateurs mathématiques, les grandeurs et les symboles manipulés en calcul formel ont-ils une valeur intrinsèque de description du monde physique au-delà de nos perceptions ?
→ Le produit de convolution est commutatif : comment s'en servir utilement en TP de psi ?
→ Quel est la condition nécessaire et suffisante sur n sous-espaces vectoriels F_i, i in [1;n] d'un K-ev E pour que les F_i soient en somme directe ?
→ Un sous-espace vectoriel F d'un K-espace vectoriel E de dimension non nécessairement finie admet-il toujours au moins un supplémentaire ?
→ E = F(R ; R). Certains bouquins appellent F un foncteur : ce n'est pas le problème. Soit F l'espace vectoriel des applications (fonctions ?) paires. Existe-t-il une base de F ? oui. Quelle est-elle ? J'avais pensé à des puissances de DL paires mais il paraît que ça ne marche pas (pas fini ?)
→ Comment caractérisé une famille génératrice d'un K-ev non fini ?
→ L'ensemble de tout les K-ev est-il un K-espace vectoriel ? Il paraît que non pour évacuer un certain nombre de paradoxes. Ne pourrait-on pas les "intégrer" à une théorie ?
→ Pour un certain nombre n de E_i K-ev comment s'exprime (par une égalité) la dimension de leur union ? Oui c'est méchant mais n'est-ce pas intéressant ?
→ Avec des ss-ev de K-ev non fini peut-on avoir aleph_0 dans l'expression d'une dimension ?
→ … à compléter
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[Médiat]

→ Les opérateurs mathématiques, les grandeurs et les symboles manipulés en calcul formel ont-ils une valeur intrinsèque de description du monde physique au-delà de nos perceptions ?

Ce serait leur accorder un pouvoir magique, qui, de toute façon ne serait pas vérifiable, ni réfutable, cette affirmation n'est donc ni mathématique ni physique.

→ Un sous-espace vectoriel F d'un K-espace vectoriel E de dimension non nécessairement finie admet-il toujours au moins un supplémentaire ?

Le théorème de la base incomplète est valide en dimension infinie (avec axiome du choix)...

→ Comment caractérisé une famille génératrice d'un K-ev non fini ?

La définition.

→ L'ensemble de tout les K-ev est-il un K-espace vectoriel ? Il paraît que non pour évacuer un certain nombre de paradoxes. Ne pourrait-on pas les "intégrer" à une théorie ?

Que veux dire lambda fois un K-ev ?

→ Pour un certain nombre n de E_i K-ev comment s'exprime (par une égalité) la dimension de leur union ? Oui c'est méchant mais n'est-ce pas intéressant ?

L'union de 2 K-ev n'est pas un K-ev (sauf peut-être cas très particulier)

→ Avec des ss-ev de K-ev non fini peut-on avoir aleph_0 dans l'expression d'une dimension ?

Je ne sais pas ce que vous voulez dire.

[GrisBleu]

Salut

→ Peut-on généraliser les séries de Fourier (ou même transformation) à des fonctions non dérivables voire non continues ou non définies sur tout R ?

+ Si la fonction est de carre integrable, alors tu peux definir une transformee de Fourrier (elle peut donc etre non continue, et non definie sur un certains nombre de point
+ Si elle ne croit pas trop vite (genre en x^n), tu peux lui associer une ditribution (dite temperee) qui admet une transformee de Fourier
+ Enfin, la transformee de Laplace est aussi definie sur des fonctions sous certaines conditions de croissance.
Dans tous les cas, la continuite et la derivabilite ne sont pas necessaires

Les opérateurs mathématiques, les grandeurs et les symboles manipulés en calcul formel ont-ils une valeur intrinsèque de description du monde physique au-delà de nos perceptions ?

Cad ?? c'est juste tres pratique pour resoudre des problemes physiques qui s'appliquent a la realite. Apres, une realite non accessible a l'experience, c'est plutot de la philo

Le produit de convolution est commutatif : comment s'en servir utilement en TP de psi ?

Si tu as 2 filtres, de fonction de transfert H1 et H2, devine quelle est la fom¥nction de transfert du systeme ? Que se passe t il si tu intervertit les 2 systemes ?

A Bientot

[invite986312212]

Salut !
→ E = F(R ; R). Certains bouquins appellent F un foncteur : ce n'est pas le problème. Soit F l'espace vectoriel des applications (fonctions ?) paires. Existe-t-il une base de F ? oui. Quelle est-elle ? J'avais pensé à des puissances de DL paires mais il paraît que ça ne marche pas (pas fini ?)

tiens cette question a été oubliée par mes illustres prédécesseurs sur ce fil. Oublions le foncteur qui n'a rien à faire ici. Tu verras quand tu étudieras la topologie que la notion intéressante dans les espaces fonctionnels (espaces vectoriels dont les éléments sont des fonctions) n'est pas celle de base algébrique, mais plutôt celle de base hilbertienne (ça rejoint la transformée de Fourier d'ailleurs). En d'autres termes, on ne cherche pas à représenter une fonction paire par une somme finie de fonctions paires, mais plutôt par la somme d'une série. Ca suppose une notion de convergence, donc de la topologie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite20f23101]

Merci beaucoup de me répondre ! C'est sympa.
Pour certaines questions il suffisait d'aller voir sur Wiki, ce à quoi je n'ai pas pensé... par exemple pour la définition d'une famille génératrice d'un -ev non fini.

(supplémentaire en dimension infinie)

Le théorème de la base incomplète est valide en dimension infinie (avec axiome du choix)...

D'accord. Peux-tu m'expliquer pourquoi on a besoin de cet axiome ?

Que veux dire lambda fois E un -ev ?
Pour lambda dans ne peut-on pas dire que c'est E + E + ... + E lambda fois ? on peut étendre à , mais au dessus c'est vrai que c'est problématique.

Union de 2 -ev : c'était plutôt la somme : désolé du lapsus. Par exemple pour la dimension 2 on a

Aleph_0 ~> Je ne sais pas ce que vous voulez dire

Il y a des analogies entre les expressions des dimensions et celles des cardinaux par exemple pour deux ensembles A et B . Je me demandai ce qu'on pouvais faire avec.

Valeur intrinsèque de description du monde physique

Je demandais ça parce qu'un gus (chercheur je crois) a publié un truc dans lequel il lançait l'idée que justement les Maths ne sont pas que le langage dans lequel est écrit le livre du monde mais pourraient aussi avoir une "réelle" signification (une certaine existence "physique"). Je voulais savoir ce que vous en pensiez.

Si tu as 2 filtres, de fonction de transfert H1 et H2, devine quelle est la fonction de transfert du système ? Que se passe t il si tu intervertit les 2 systèmes ?

Si les filtres sont en série vue la manière dont ta question est posée je pense que la fonction de transfert de l'ensemble va être . Peut-on dire "la convolution de H1 et H2" ?
S'ils sont "composés" je pense ... rien ! peut-être ? Dans ce cas je pense que ce n'est pas commutatif.

En d'autres termes, on ne cherche pas à représenter une fonction paire par une somme finie de fonctions paires, mais plutôt par la somme d'une série. Ca suppose une notion de convergence, donc de la topologie.

Merci ambrosio de m'avoir indiqué où chercher.

P.S. : pas si difficile que ça les rudiments de Latex !
Non relu, je corrigerai les fautes plus tard :S

[Médiat]

(supplémentaire en dimension infinie) D'accord. Peux-tu m'expliquer pourquoi on a besoin de cet axiome ?

Sans Axiome du choix on ne peut même pas démontrer que tout espace vectoriel a une base (et donc encore moins compléter une famille libre). On peut même démontrer que "Tous les espaces vectoriels ont une base" entraine AC.

Pour lambda dans ne peut-on pas dire que c'est E + E + ... + E lambda fois ? on peut étendre à , mais au dessus c'est vrai que c'est problématique.

Je ne suis pas certain de comprendre ce que veut dire -E, mais en tout état de cause n'est pas un corps.

Union de 2 -ev : c'était plutôt la somme : désolé du lapsus. Par exemple pour la dimension 2 on a

Ce n'est pas une question de dimension, mais du nombre de sous-espace dont il faut faire la somme ; c'est une une question de combinatoire (très symétrique), parfaitement équivalente à ce que l'on obtiendrait avec de simples ensembles (et la notion de cardinal).

Il y a des analogies entre les expressions des dimensions et celles des cardinaux par exemple pour deux ensembles A et B . Je me demandai ce qu'on pouvais faire avec.

Est-ce que votre question est de savoir si peut être la dimension d'un espace vectoriel, la réponse est oui, mais la réponse serait oui, pour n'importe quel cardinal.

Je demandais ça parce qu'un gus (chercheur je crois) a publié un truc dans lequel il lançait l'idée que justement les Maths ne sont pas que le langage dans lequel est écrit le livre du monde mais pourraient aussi avoir une "réelle" signification (une certaine existence "physique"). Je voulais savoir ce que vous en pensiez.

Soit ce chercheur a des preuves, et j'aimerais bien les voir, soit il n'en a pas et ce n'est pas un résultat scientifique ; s'il s'agit juste de "lancer" une idée et d'en étudier les conséquences, ce peut être un joli morceau de philosophie.

[invite20f23101]

On peut même démontrer que "Tous les espaces vectoriels ont une base" entraine AC.

Merci ! je vais donc m'informer sur cet axiome du choix. J'en profite pour avouer mes très basses motivations !
En réalité mon prof de Maths a promis un bonbon à qui réussirait à montrer que tout ss-ev d'un ev non nécessairement de dim finie admet (au moins) un supplémentaire. J'espère que vous me pardonnerez

c'est une une question de combinatoire (très symétrique)

La formule ! La formule !

[invite986312212]

Merci ! je vais donc m'informer sur cet axiome du choix.

plus particulièrement la version appelée "lemme de Zorn"

[Médiat]

La formule ! La formule !

Faudrait bosser un peu pour avoir votre bonbon .

Je vous mets sur la voie :
(somme des intersections des ensembles 1 à 1) (je vous laisse deviner ce que cela veut dire )
-
(somme des intersections des ensembles 2 à 2)
+
(somme des intersections des ensembles 3 à 3)
-


(-1)ⁿ⁺¹
(somme des intersections des ensembles n à n)

[invite20f23101]

Faudrait bosser un peu pour avoir votre bonbon

Oui, mais c'est pour le supplémentaire, pas les dim !

[GrisBleu]

Si les filtres sont en série vue la manière dont ta question est posée je pense que la fonction de transfert de l'ensemble va être . Peut-on dire "la convolution de H1 et H2" ?
S'ils sont "composés" je pense ... rien ! peut-être ? Dans ce cas je pense que ce n'est pas commutatif.

Salut
Si tu as d'abord H1 puis H2, le filtre final est H1*H2. Si tu intervertit, tu as H2*H1. Comme * est commutatif, intervertir les 2 ne change rien. Voila une application concrete.
++

[invite20f23101]

Autre question de Maths
Soient un -espace vectoriel et f un endomorphisme de .
On a démontré l'équivalence suivante : f est nilpotent d'ordre 2 si et seulement si

Existe-t-il une propriété analogue dépendant à priori de n l'ordre de nilpotence de f telle que :

f nilpotent d'ordre n

Pour récapituler :
n = 2
n pair : j'ai l'impression qu'il y a un truc "facilement déductible" mais je ne sais pas quoi.
n impair : peut-être cela n'est-il pas possible ?

[invite986312212]

en dimension finie, il y a des caractérisations des matrices nilpotentes. En général je ne sais pas.

je crois que tu devrais poster dans la section maths.

[invite20f23101]

@ Accro :
Pas de problème ! Mais je ne sais pas comment déplacer mon topic dans la section appropriée. Je vais essayer de modifier mon premier message.

Edit :
Malheureusement je ne peux pas éditer mon premier message.
J'aimerai bien pouvoir le modifier pour le placer dans la bonne catégorie, ajouter au fur et à mesure les questions (ce serait plus propre) et le mettre en forme (ça fait un peu pavé, là)

[invite20f23101]

Comme je ne peux malheureusement pas modifier mes précédents messages, je cite

Autre question de Maths
Soient un -espace vectoriel et f un endomorphisme de .
On a démontré l'équivalence suivante : f est nilpotent d'ordre 2 si et seulement si

Existe-t-il une propriété analogue dépendant à priori de n l'ordre de nilpotence de f telle que : Pour récapituler :
n = 2
n pair : j'ai l'impression qu'il y a un truc "facilement déductible" mais je ne sais pas quoi.
n impair : peut-être cela n'est-il pas possible ?

Je pense qu'on peut considérer qu'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension n ne peut pas être nilpotent d'ordre supérieur à n.

[invite58633955]

→ Le modèle de Drude des métaux, c'est bien ; y en a-t-il un autre plus finement représentatif de la réalité ?
→ Un truc marrant : tenter une généralisation (qualitative ; si quantitative, y a-t-il des bourrins dans la salle ?) du théorème d'Ostrogradsky à des espaces de dimension n in N.
→ Peut-on généraliser les séries de Fourier (ou même transformation) à des fonctions non dérivables voire non continues ou non définies sur tout R ?
→ Il existe des laisons NP, NPN, PNP ; quels seraient l'utilité et le sens de jonctions NPNP, etc ?
→ Les opérateurs mathématiques, les grandeurs et les symboles manipulés en calcul formel ont-ils une valeur intrinsèque de description du monde physique au-delà de nos perceptions ?
→ Le produit de convolution est commutatif : comment s'en servir utilement en TP de psi ?
→ Quel est la condition nécessaire et suffisante sur n sous-espaces vectoriels F_i, i in [1;n] d'un K-ev E pour que les F_i soient en somme directe ?
→ Un sous-espace vectoriel F d'un K-espace vectoriel E de dimension non nécessairement finie admet-il toujours au moins un supplémentaire ?
→ E = F(R ; R). Certains bouquins appellent F un foncteur : ce n'est pas le problème. Soit F l'espace vectoriel des applications (fonctions ?) paires. Existe-t-il une base de F ? oui. Quelle est-elle ? J'avais pensé à des puissances de DL paires mais il paraît que ça ne marche pas (pas fini ?)
→ Comment caractérisé une famille génératrice d'un K-ev non fini ?
→ L'ensemble de tout les K-ev est-il un K-espace vectoriel ? Il paraît que non pour évacuer un certain nombre de paradoxes. Ne pourrait-on pas les "intégrer" à une théorie ?
→ Pour un certain nombre n de E_i K-ev comment s'exprime (par une égalité) la dimension de leur union ? Oui c'est méchant mais n'est-ce pas intéressant ?
→ Avec des ss-ev de K-ev non fini peut-on avoir aleph_0 dans l'expression d'une dimension ?

Alors quelques réponses (parce que je m'ennuie en attendant mon avion).

?
→ Un truc marrant : tenter une généralisation (qualitative ; si quantitative, y a-t-il des bourrins dans la salle ?) du théorème d'Ostrogradsky à des espaces de dimension n in N.

CA existe, c'est meme plus joli que le théorème d'ostrogradski (si je me rappelle bien c'est ce truc un peu batard qu'on voit en physique sur la divergence ou le rotationnel). La belle version générale s'appelle théorème de Stokes, et c'est tres simple, pour une variété differentielle a bord, X, et w une forme differentielle sur X, de degré la dimension de X moins 1.

→ Peut-on généraliser les séries de Fourier (ou même transformation) à des fonctions non dérivables voire non continues ou non définies sur tout R ?

LE bon cadre pour définir les series de fourier (que tu vois en prepa) c'est dans L²(S1) (les fonctions de carré intégrables sur le cercle). C'est massivement generalisable, dans la théorie des representations de groupe.

→ Quel est la condition nécessaire et suffisante sur n sous-espaces vectoriels F_i, i in [1;n] d'un K-ev E pour que les F_i soient en somme directe ?

CA je pense que tu dois le savoir.

→ Un sous-espace vectoriel F d'un K-espace vectoriel E de dimension non nécessairement finie admet-il toujours au moins un supplémentaire ?

Oui, c'est un consequence de l'axiome du choix.

→ E = F(R ; R). Certains bouquins appellent F un foncteur : ce n'est pas le problème. Soit F l'espace vectoriel des applications (fonctions ?) paires. Existe-t-il une base de F ? oui. Quelle est-elle ? J'avais pensé à des puissances de DL paires mais il paraît que ça ne marche pas (pas fini ?)

Je vois pas ou y a un foncteur ici, (un F n'est pas necessairement un foncteur ).
Tout espace vectoriel admet une base, c'est une consequence de l'axiome du choix.

→ Comment caractérisé une famille génératrice d'un K-ev non fini ?

Ben, elles sont generatrice, tout vecteur s'ecrit comme combinaison linéaire d'elements de la famille.

→ L'ensemble de tout les K-ev est-il un K-espace vectoriel ? Il paraît que non pour évacuer un certain nombre de paradoxes. Ne pourrait-on pas les "intégrer" à une théorie ?

Tout ensemble est une F_1-espace vectoriel (non non je blague pas).
PLus serieusement (mais c'etait quand meme serieux), y a des problemes a parler de l'ensemble des k-ev...

→ Pour un certain nombre n de E_i K-ev comment s'exprime (par une égalité) la dimension de leur union ? Oui c'est méchant mais n'est-ce pas intéressant ?

La reunion de k-ev n'est pas en general un k-ev, sauf s'ils sont inclus dans un de la liste, et aussi sauf cas particulier en carracteristique 2.

→ Avec des ss-ev de K-ev non fini peut-on avoir aleph_0 dans l'expression d'une dimension ?

Ben oui. Meme tout ce que tu veux (regarde les polynomes a coeff dans k pour avoir une base de cardinal aleph_0)

Edit: Bon je viens de voir que j'ai été grillé sur a peu pres toutes les questions... Sorry pour la redite.

[Médiat]

Je pense qu'on peut considérer qu'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension n ne peut pas être nilpotent d'ordre supérieur à n.

Ce serait mieux de le démontrer .
Il suffit de démontrer que la suite qui est décroissante est en fait strictement décroissante pour les endomorphismes nilpotents

[invite58633955]

Ce serait mieux de le démontrer .
Il suffit de démontrer que la suite qui est décroissante est en fait strictement décroissante pour les endomorphismes nilpotents

Je rajouterai qu'elle est toujours pour n'importe quel endomorphisme (sur un espace de dim finie) strict decroissante, avant de stationner, et qu'elle est de moins en moins decroissante.

[invite20f23101]

Salut !

Alors quelques réponses (parce que je m'ennuie en attendant mon avion).

S'il ne répond pas c'est qu'il l'a eu son avion
Merci de tes réponses !
Ca paraît rien mais c'est comme même intéressant, les Maths ! et pas seulement "un outil" inutilement compliqué comme n'ont pas arrêter de me le dire mes profs de Physique − je ne pense pas qu'on puisse réellement leur en vouloir…

CA existe, c'est meme plus joli que le théorème d'ostrogradski (si je me rappelle bien c'est ce truc un peu batard qu'on voit en physique sur la divergence ou le rotationnel). La belle version générale s'appelle théorème de Stokes, et c'est tres simple, pour une variété differentielle a bord, X, et w une forme differentielle sur X, de degré la dimension de X moins 1.

Je n'ai pas encore fait de topologie donc je ne comprends pas ce qu'est une variété différentiable ; en même temps vu ce que te balance Wiki c'est normal :

Une variété différentielle se définit d'abord par la donnée d'une variété topologique, espace topologique localement homéomorphe à l'espace euclidien ,. Les homéomorphismes locaux sont appelés cartes et définissent des systèmes de coordonnées locales. La structure différentielle est définie en exigeant certaines propriétés de régularité des applications de transition entre les cartes. Cette structure permet par exemple de donner une définition globale de la notion d'application différentiable.

Pourrais-tu juste essayer de ‘vulgariser’ un peu s'il te plait ? (niveau entre deux années de prépa)
Concernant le théorème de Stokes je suppose que c'est le même bonhomme qui a inventé les équations de Navier-Stokes dont la résolution constitue l'un des problèmes du prix du millénaire de l'Institut Clay ? Je suppose que ces équations et son théorème sont liés.
Donc j'ai compris : je vais arrêter de vouloir regarder trop haut pour mes capacités… et attendre d'avoir grandit !! Mais c'est très frustrant : c'est comme si j'étais une taupe et que je ramassais des brides de conversations de grands Aigles tombées du ciel… ça semble si intéressant.
Cependant la réponse

LE bon cadre pour définir les séries de Fourier (que tu vois en prépa) c'est dans L²(S1) (les fonctions de carré intégrables sur le cercle). C'est massivement généralisable, dans la théorie des représentations de groupe.

me semble plus accessible : Fourier et ses séries seront bientôt abordées pour moi ! Google me dit rapidement que L2(S1) est un espace de Hilbert ; ça aussi c'est bientôt au programme (miam ! ).

Quel est la condition nécessaire et suffisante sur n sous-espaces vectoriels F_i, i in [1;n] d'un K-ev E pour que les F_i soient en somme directe ?

Intersection nulle ?
Pourtant dans mon cours "il est écrit" réduite au nul pour deux, puis "pas de généralisation hâtive pour n≥3".
Par exemple dans E un -espace vectoriel de dimension 5 il peut exister quatre vecteurs x,y,z,t ; les sev sont d'intersection nulle a priorimais il suffit que pour qu'il ne soient pas en somme directe. Faudrait-il juste que l'union de leur base reste libre dans E ?

Il suffit de démontrer que la suite qui est décroissante est en fait strictement décroissante pour les endomorphismes nilpotents

Merci de l'info ! J'avais montré pour f endomorphisme dans un espace de dimension 2 et je pensais faire une récurrence (avec les noyaux et les images emboîtés).

 Cliquez pour afficher

P.S. pour un modo :
Les smileys mit: et mega1: ne seraient-ils pas les mêmes ?

[invite58633955]

Salut !

S'il ne répond pas c'est qu'il l'a eu son avion

JE profite de mon escale pour poursuivre

Je n'ai pas encore fait de topologie donc je ne comprends pas ce qu'est une variété différentiable ; en même temps vu ce que te balance Wiki c'est normal :
Pourrais-tu juste essayer de ‘vulgariser’ un peu s'il te plait ? (niveau entre deux années de prépa)
Concernant le théorème de Stokes je suppose que c'est le même bonhomme qui a inventé les équations de Navier-Stokes dont la résolution constitue l'un des problèmes du prix du millénaire de l'Institut Clay ? Je suppose que ces équations et son théorème sont liés.

Une variété differntiable c'est grosso modo les zeros d'une collections de fonctions Cinfini dans R^n (bon faut des conditions) c'est un sous ensemble "lisse" de R^n qui de pres ressemble a un R^p (avec p<n) par exemple le cercle, le tore, la bande moebius, les espaces projectifs (eux faut aller dans un haut R^n pour les voir)
UNe variété a bord c'est pareil, mais sauf que de pres ca peut ressemble a H^p le demi espace supérieur (fermé) (a ne pas confondre avec lme demi plan de poincaré, aussi noté H, aussi appelé demi plan superieur, mais lui ouvert)
Par exemple variété a bord, la boule, H^p etc...
Pour la boule de R^n, la formule de stokes te dit que si tu prends forme de degré n-1 que tu veux intergrer sur la sphere S^{n-1}, ben c'est la meme chose que differencier la n-1-forme et l'integrer sur la boule tout entiere.
Bien sur je ne l'ai pas dit, mais les variété consideres doivent etre orientés.

Y a pas trop de rapport avec navier stokes (a ma conaissance) et c'est pas tres au dessus du niveau prepa (la demo n'est ni plus ni moins qu'une intégration par parties, d'ailleurs la formule de stokes en dimension 1 appliqué a un segment redonne le théorème fondamental du calcul intégral). Et en seconde année vous voyez la formule de Green-Riemann qui est la formule de Stokes dans le plan.
Bien entendu le théorème n'est du si a Stokes, ni a Green ni a Riemann (il semble que Cauchy le conaissait deja pour demontrer la formule de cauchy ou des residus il en a eu besoin)

Donc j'ai compris : je vais arrêter de vouloir regarder trop haut pour mes capacités… et attendre d'avoir grandit !! Mais c'est très frustrant : c'est comme si j'étais une taupe et que je ramassais des brides de conversations de grands Aigles tombées du ciel… ça semble si intéressant.

Je trouve que c'est sain d'etre curieux. Puis c'est pas tres difficile.

Intersection nulle ?
Pourtant dans mon cours "il est écrit" réduite au nul pour deux, puis "pas de généralisation hâtive pour n≥3".
Par exemple dans E un -espace vectoriel de dimension 5 il peut exister quatre vecteurs x,y,z,t ; les sev sont d'intersection nulle a priorimais il suffit que pour qu'il ne soient pas en somme directe. Faudrait-il juste que l'union de leur base reste libre dans E ?

C'est juste qu'ils doivent veirfier si x_i est dans F_i alors x_1+...+x_k=0 ssi tous les x_i=0
Ou encore (et c'est mieux de le voir comme ca) que l'application naturelle soit etre un isomorphisme, si les dimensions sont bonnes (au pire tu te restreint a l'arrivée a alors c'est dire que le noyau doit etre nul, et ca c'est la condition ecrite au dessus.

[invite20f23101]

Merci Therodre pour tes explications. Je vais essayer de les digérer petit à petit.

Soient E un -espace vectoriel et F, G deux sous-espaces de E ; soient s et p un symétrique et un projecteur arbitraires associés à ces sev (tout deux sur F parallèlement à G). Alors on a :

Pourrait-on se servir de ces relations pour construire une structure (groupe, corps ou n'importe quoi d'autre) ? On pourrait dire que la "classe" des s fonctionne comme un élément neutre pour p. Id resterait aussi un autre élément neutre. Tout le problème semble être de définir les opérations...

Quelle pourrait être l'utilité de cette structure ?

[KerLannais]

Bonjour,

Pour répondre à la première question. Le modèle de drude est dérivé formellement de considérations microscopiques, pour avoir un modèle plus fin il faut revenir au modèle microscopique et faire une dérivation plus rigoureuse, dans l'idéal il faudrait partir des équations de la mécaniques quantique, mais à ce jour aucune dérivation d'un modèle macroscopique à partir des équations de la mécanique quantique n'a été (rigoureusement) démontrée. Ce cours en ligne, notamment les chapitres 12 et 13 pourrait t'intéresser, mais c'est pas du niveau prépa à priori
http://cel.archives-ouvertes.fr/docs...DF/pottier.pdf

[invite20f23101]

En effet KerLannais ce n'est pas du niveau prépa ! mais plus de celui de DEA… Merci de m'avoir indiqué ce cours. Si j'ai le temps de le lire (surtout si j'y survis) je pense qu'en 334 pages je devrais pouvoir trouver des «Eléments de réponse» !! J'essaierai de m'y mettre à la Toussaint. Faute de ne pouvoir tout lire (choisir c'est renoncer) je me concentrerai d'abord sur les derniers chapitres (‘Phénomènes de transport dans les solides’ et ‘Processus de diffusion des électrons’) mais je risque de ne pouvoir en faire qu'une lecture "artistique"

En attendant la Toussaint (où j'espère pouvoir réussir à comprendre un peu de ce que KerLannais m'a donné) pour m'entraîner j'ai tenter de trouver la fonction de transfert d'un pont de Wien un peu modifié. Je pensais qu'il n'y aurait pas de problème ; au final cela ressemblait un peu à ça :

Une recherche m'a fait tombé sur ce site d'électrocinétique. Des matrices peuvent servir à représenter des quadripôles : on nous cache des choses en cours de Physique !

D'autre part en Maths, il existe bien d'autres produits matriciels que celui par lequel des générations d'élèves ont été traumatisées (ou pas). Par exemple l'idée de produit qui semble "naturelle" à première vue s'appelle le produit de Hadamard.

A partir de là il peut être marrant de vouloir trouver la fonction de transfert de deux filtres en série. wlad_von_tokyo a déjà dit que le produit de convolution intervenait (ce qui somme toute est assez élégant, non ?) D'après le peu que j'ai regardé du site de Physique peut aussi être obtenue par produit matriciel (attention au signe −). Bizarre, non ?
Le calcul d'un produit de convolution ne paraît ni rapide ni simple :

Pourrait-on utiliser des matrices pour exprimer d'une autre manière la convolution ? Je ne sais pas à quel type de produit on aurait à faire…

[Armen92]

.....Le modèle de Drude des métaux, c'est bien ; y en a-t-il un autre plus finement représentatif de la réalité ?
...

Evidemment qu'il y en a !!!

[invite20f23101]

Evidemment qu'il y en a !!!

Ca je m'en doute ! C'est justement pour ça que je pose la question
Au pire il y a aussi la mécanique quantique, mais bon ça fait un peu tache de sortir ça en khôlle ou en cours

[invite20f23101]

Bonsoir !

Dans le cadre de certaines démonstrations le rédacteur est amené a s’intéresser à la caractéristique du corps sur ou dans lequel l'on travaille. Pour rappel celle de est nulle mais celle de est deux. Je m'interroge : les notions de déterminants, de caractéristique d'un système linéaire ou même encore de bijection (pour les formes «n-linéaires alternées» comme qu'y dit) sont-elles encore valables ? d'ailleurs n'est-ce pas dans ce cas que les formes n-linéaires antisymétriques et alternées deviennent distinctes ?
De plus quel sens donner à l'écriture avec et deux corps de caractéristiques k et l de (soyons positivement fous : pourquoi pas ou ) et

Comment peut-on se raccrocher au pinceau de ce qui a déjà été fait dans un corps de caractéristique nulle pour éviter de reconstruire tout un édifice ? Quelles applications “pratiques” cela pourrait-il avoir ? Le mot pratique s'entend ici au sens mathématiques, donc comme introduction à de notions nouvelles, comme outils pour lier deux concepts qui n'avaient rien à voir ou encore tout simplement comme aide à la résolutions de certains exercices…

Autre problème n'ayant qu'un lien ténu avec les § précédents : on parle de polynôme de matrices et d'ailleurs le théorème de Cayley-Hamilton (démontré complètement par Fröbenius) on peut exprimer la matrice comme polynôme de matrices de puissances naturelles (donc positives). On parle aussi de forme linéaire (ou n-linéaire aussi si l'on veut). Pourrait-on manipuler des matrices de polynômes ? Il est vrai que n'est pas commutatif donc le produit matriciel de matrices de blocs deviendrait une croix ; a-t-on déjà trouvé à cette notion un quelconque intérêt ? Je n'ai pas marqué car sinon je crois non de dimension finie mais c'est vrai que c'est là que ça devient vraiment intéressant !

Merci beaucoup de m'aider : nous sommes en vacances, plus de prof de Maths sous la main mais grasse mat' à volonté !!!

: vous l'aurez compris j'ai avalé de travers mon cours d'algèbre linéaire

[invite58633955]

Bonsoir !

Dans le cadre de certaines démonstrations le rédacteur est amené a s’intéresser à la caractéristique du corps sur ou dans lequel l'on travaille. Pour rappel celle de est nulle mais celle de est deux. Je m'interroge : les notions de déterminants, de caractéristique d'un système linéaire ou même encore de bijection (pour les formes «n-linéaires alternées» comme qu'y dit) sont-elles encore valables ? d'ailleurs n'est-ce pas dans ce cas que les formes n-linéaires antisymétriques et alternées deviennent distinctes ?
De plus quel sens donner à l'écriture avec et deux corps de caractéristiques k et l de (soyons positivement fous : pourquoi pas ou ) et

Comment peut-on se raccrocher au pinceau de ce qui a déjà été fait dans un corps de caractéristique nulle pour éviter de reconstruire tout un édifice ? Quelles applications “pratiques” cela pourrait-il avoir ? Le mot pratique s'entend ici au sens mathématiques, donc comme introduction à de notions nouvelles, comme outils pour lier deux concepts qui n'avaient rien à voir ou encore tout simplement comme aide à la résolutions de certains exercices…

Autre problème n'ayant qu'un lien ténu avec les § précédents : on parle de polynôme de matrices et d'ailleurs le théorème de Cayley-Hamilton (démontré complètement par Fröbenius) on peut exprimer la matrice comme polynôme de matrices de puissances naturelles (donc positives). On parle aussi de forme linéaire (ou n-linéaire aussi si l'on veut). Pourrait-on manipuler des matrices de polynômes ? Il est vrai que n'est pas commutatif donc le produit matriciel de matrices de blocs deviendrait une croix ; a-t-on déjà trouvé à cette notion un quelconque intérêt ? Je n'ai pas marqué car sinon je crois non de dimension finie mais c'est vrai que c'est là que ça devient vraiment intéressant !

Merci beaucoup de m'aider : nous sommes en vacances, plus de prof de Maths sous la main mais grasse mat' à volonté !!!

: vous l'aurez compris j'ai avalé de travers mon cours d'algèbre linéaire

J'ai pas compris grand chose a ton message.
N/2N, n'est pas défini (encore que), je pense que tu penses a Z/2Z.
A peu pres tous les resultats d'alg lin que l'on apprends en prepa sont encore valable dans les corps de char p. A vrai dire je ne connais pas spontanément de resultat (d'algebre linéaire elementaire bien sur) qui soit vrai dans R ou C, mais qui ne le soit pas dans F_p par exemple (alors que l'inverse oui). Bien qu'en general les resultats soient plus dur a prouver car on a pas de topologiue pour nous aider.
Mais globalement un resultat elementaire de theorie des corps vrai dans C le sera dans un autre corps (on peut donner un sens precis a ce truc la, là je reconnais que c'est pas rigoureux).

ON peut aussi faire de l'alg linéaire sur un anneau (commutatif comme il se doit), alors la les choses deviennent beaucoup plus compliqué, notament a cause du phenomene de torsion. Mais le theoreme de Cayley Hamilton reste aussi vrai sur un anneau, et c'est pas tres dur a prouver d'ailleurs.

Bref c'est une longue histoire.

Pour le K/nL, alors la je comprends pas ce que tu veux dire du tout. TU melange deux notation, la notation K/L, qui veut dire que K est une extension de L (et dans ce cas là, ils ont meme charracteristique). Et si A est un anneau A/nA le quotient de A par l'ideal nA.
R union l'infini n'est pas un corps (enfin pas pour les operations usuelles, bien sur il est possible d'en faire un corps).

L'etude des espaces vectoriels sur un anneau (on parle de modules sur un anneau, et pas d'espaces vectoriels) est tres importante, en théorie des nombres, en algèbre, en géométrie algébrique et arithmétique.

[invite20f23101]

D'accord.
En fait je m'aperçois que n'ai pas du tout compris le sens de la notation A/nZ. J'ai donc fait un excès de formalisme qui n'avait aucun sens.

[invite20f23101]

J'arrive à peu près à trouver l'inverse d'une matrice de tête après avoir vérifier qu'elle était inversible. Seulement pour des matrices ou c'est beaucoup plus difficile ! Qui connaît un truc pour simplifier les calculs ?

→ Mon prof de Physique nous a balancé un jour que la «clef de voûte de la Physique moderne» est la relation et que parmi les trois grandeurs en jeu dans cette relation µ est la plus fondamentale des trois. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer pourquoi ?

Quelle est la signification géométrique de la trace d'un endomorphisme ? Je comprends à peu près ce que décrit le rang de la matrice associé à un endomorphisme, le déterminant sert à déterminer s'il existe une application réciproque (non ?) mais la trace…
D'ailleurs quand une application n'est pas bijective on peut parfois parler de restriction et retrouver la bijectivité. Comment pourrait-on faire en opérant sur des matrices ? La considérer en matrice de blocs, extraire des matrices inversibles ?

→ Existe-t-il une CNS basée sur les propriétés des matrices pour que deux matrices soient semblables ? Par exemple deux matrices semblables ont mêmes rang, trace et déterminant mais l'inverse n'est pas forcément vrai. Wiki parle beaucoup des invariants mais ne conclut pas !

La propriété suivante :

Soit E un K-espace vectoriel de dimension n alors le K-espace vectoriel des formes n-linéaires antisymétriques de est de dimension 1.

Mais si E n'est pas de dimension n (de n-linéaire), que se passe-t-il ? Y a-t-il encore une structure ou est-ce chaotique ?

→ Peut-on voir la valeur du déterminant d'une application linéaire comme un indicateur (une «quantification» ? ) de la "qualité" de la bijectivité de cette application ou de la «perturbation» engendrée par cette bijection ? Par exemple l'application identique ne change rien et a un déterminant de 1.

Y a-t-il un intérêt à regarder un polynôme dont les coefficients forment une suite ? Pour respecter la définition formelle d'un polynôme il faudrait que cette suite tende vers 0 ou soit nulle à partir d'un certain rang, non ?

→ Comment faire pour résoudre de manière générale un système non-linéaire ? Si par exemple on a en «inconnues» des peut-on considérer x^2 comme une variable à part entière puis prendre en compte la condition ?

Comment appréhender la résolution d'un système sur un corps de caractéristique non nulle ? La notion de (déterminant) caractéristique d'un système est mise à mal, non ?

Merci beaucoup pour vos réponses, bonnes vacances !

[invite58633955]

J'arrive à peu près à trouver l'inverse d'une matrice de tête après avoir vérifier qu'elle était inversible. Seulement pour des matrices ou c'est beaucoup plus difficile ! Qui connaît un truc pour simplifier les calculs ?

→ Mon prof de Physique nous a balancé un jour que la «clef de voûte de la Physique moderne» est la relation et que parmi les trois grandeurs en jeu dans cette relation µ est la plus fondamentale des trois. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer pourquoi ?

Quelle est la signification géométrique de la trace d'un endomorphisme ? Je comprends à peu près ce que décrit le rang de la matrice associé à un endomorphisme, le déterminant sert à déterminer s'il existe une application réciproque (non ?) mais la trace…
D'ailleurs quand une application n'est pas bijective on peut parfois parler de restriction et retrouver la bijectivité. Comment pourrait-on faire en opérant sur des matrices ? La considérer en matrice de blocs, extraire des matrices inversibles ?

→ Existe-t-il une CNS basée sur les propriétés des matrices pour que deux matrices soient semblables ? Par exemple deux matrices semblables ont mêmes rang, trace et déterminant mais l'inverse n'est pas forcément vrai. Wiki parle beaucoup des invariants mais ne conclut pas !

La propriété suivante : Mais si E n'est pas de dimension n (de n-linéaire), que se passe-t-il ? Y a-t-il encore une structure ou est-ce chaotique ?

→ Peut-on voir la valeur du déterminant d'une application linéaire comme un indicateur (une «quantification» ? ) de la "qualité" de la bijectivité de cette application ou de la «perturbation» engendrée par cette bijection ? Par exemple l'application identique ne change rien et a un déterminant de 1.

Y a-t-il un intérêt à regarder un polynôme dont les coefficients forment une suite ? Pour respecter la définition formelle d'un polynôme il faudrait que cette suite tende vers 0 ou soit nulle à partir d'un certain rang, non ?

→ Comment faire pour résoudre de manière générale un système non-linéaire ? Si par exemple on a en «inconnues» des peut-on considérer x^2 comme une variable à part entière puis prendre en compte la condition ?

Comment appréhender la résolution d'un système sur un corps de caractéristique non nulle ? La notion de (déterminant) caractéristique d'un système est mise à mal, non ?

Merci beaucoup pour vos réponses, bonnes vacances !

Je dois avouer que je comprends pas trop ta demarche ni où tu veux aller avec tout ca. J'ai l'impression que tu poses des questions sur des generalisations de concepts que deja tu ne maitrise pas bien (ce n'est pas une critique, mais je ne vois pas trop ou tu veux en venir).

Pour le calcul mental je ne peux t'aider. Je ne m'y interesse pas.

La trace d'un endomrphisme est un invariant de smilitude justement, et c'est en cela qu'il est géométrique, puisqu'il a trai a un endomorphisme lui meme.
Maintenant si on se donne un endomorphisme sur k^n, on peut lui associer par un processus cannonique une série de polynomes (le polynome minimal etant le premier d'entre eux) qui carracterise de manière complete l'endomorphisme, ils ont des prorpiétés agreables (chacun divise le suivant), et c'est cela que l'on appelle les invariants de similitudes. Si deux matrices ont les memes, alors elles sont semblables et reciproquement.

Pour restreindre tes matrices non inversibles, oui tu extrait des sous matrices, il n'est pas difficile de voir que le rang de la amtrice est d'ailleurs, le rang de la plus grande sous matrice inversible qu'on peut en extraire.

Pour les formes n-liéaires, encore une fois, c'est assez simple, prend un papier et un crayon, et en 5 minutes tu devrais avoir prouvé que l'espace des p-formes linéaiure sur k^n, est toujours un k-espace, qu'il est trivial si p>n, que c'est une droite si p=n, et qu'il est de dimension p parmi n, si p<n. Il est d'ailleurs facile (enfin, y a des problemes d'ecriture, mais dans l'esprit c'est facile) d'en exhiber une abse a partir de la base duale de k^n.

C'est quoi la qualité d'une bijection? Le determinant est un multiplicateur de volume, si tu prends une parallelipipède de volume 1 il se transforme en un parallelepipède de volume det f apres l'application de f.

Pour des Z modules libres de type fini (des reseaux quoi), alors la oui, le determinant indique l'indice de l'image dans l'ensemble d'arrivée. Mais il n'y a plus bijection dans ces cas la de toute facon, sauf si le det vaut plus ou moins 1 d'apres ce que j'ai dit.

Y a pas de methode generale pour resoudre une systeme non linéaire.
Pour le reste, oui, et c'est une bonne idée, c'est notemment utiliser pour ramener equa diff de degré n a des systemes diff de degré 1. (ou des equa diff vectorielles de degré 1)

Sur un corps de char p y a rien de bien mysterieux qui se passe d'un point de vue alg linéaire. Tu en as tout une batterie a ta disposition (Z/pZ, avec p premier), regarde dessus. La notion de determinant fonctionne tout pareil, les démonstration sont les memes.