sous groupe

[invite52dad7be]

Salut à tous, je bloque pour mon exo.


Soit a et b deux nombre reel positif tels que a/b ∉ Q

E={na + pb / n∈ Z , p∈ Z}

Montrons que E est un sous groupe de R
On pose a=inf(E∩ R *+)

merci pour votre aide.




ps: je connais la définition mais je ne sais pas comment l'appliquer.
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[invitea0db811c]

Bonjour,

Pour le fait que c'est un sous groupe, il faut juste vérifier que les propriétés d'un sous groupe sont respectés. Donc tu les prends une à une et tu regarde si elles sont vérifiées.

Pour ensuite montrer que le sous groupe est dense, il faut montrer que le inf(E n R*+) est zéro, et pour ça je te conseille de considérer la suite

|x*n| - x*n (où |.| désigne la partie entière, et où x = a/b )

[invite6bacc516]

Prouver la densité de E dans est très simple une fois connu le résultat suivant : les sous-groupes de sont soit monogènes soit denses dans . Ici, il ne peut pas être monogène justement parce que a et b sont incommensurables.

[invite52dad7be]

C'est bon j'ai réussi à montrer que c'était un sous groupe.

Enfaite le a=inf(E∩ R *+) c'est une autre question....
Justifier l'existence de a.

Je me demandé à quoi il servait pour démontrer que c'était un sous groupe...


Donc a=inf(E∩ R *+), justifier l'existence de a.

Je sais pas si ça change quelque chose pour vous???

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

ça sert pour la densité. si tu te souviens de comment on démontre que Z est un anneau principal, sers-t'en parce que l'argument pour montrer le résultat évoqué par Dydo est un peu le même.

[invite6bacc516]

Le est la borne inférieure des éléments positifs du groupe, elle est donc positive et il y a deux cas : soit elle est nulle, et le groupe est dense ; soit elle est strictement positif, et le groupe est engendré par . Essaye de prouver ce résultat, ça te permettra de comprendre pourquoi considérer cette borne inférieure et qu'est ce qu'elle permet de faire

Pour ta question : comme justifie-t-on usuellement l'existence d'une borne inférieure d'un ensemble de réels ?