Bonsoir à tous,
je dois calculer une intégrale généralisée, et ... c'est pressant !
intégrale de ln(x)/(1+x) dx de 0 à +infini
Je partage donc de 0 à 1 puis de 1 à +infini
Pour 1 à infini , on utilise les théo de comparaison avec l'équivalent de lnx/x² , et on en déduit grace à l'intégrale de bertrand, que sa diverge. C'est sa ?
Ensuite, pour 0 à 1, j'ai essayé un changement de variable, tq x=1/t, mais au final je n'arrive pas à conclure !!
A l'aide !! SVP
Merci d'avance !
c'est ln(x) / (1+x)² , dsl !!Envoyé par kriskroc
Il faudrait revoir le critère de convergence des intégrales de Bertrand... tu peux comparer à.
Et en considérant un équivalent simple au voisinage de 0 ?
Ahhh !!! Merci beaucoup, dans mon cas ln(x) / x², alpha= 2, donc supérieur à 1 ,dc une condition est remplie pour dire que c'est convergent !!! j'avais pas vu !! merci,Il faudrait revoir le critère de convergence des intégrales de Bertrand... tu peux comparer à
Et en considérant un équivalent simple au voisinage de 0 ?
mais maintenant, on a une partie convergente, mais je ne sais tjrs pas la nature de l'intégrale de 0 à 1.
Je ne vois vraiment pas quel équivalent je pourrais utiliser ...
Un équivalent simple de (1+x)² au voisinage de 0 ?
l'équivalent de ln(x)/ (1+x)² au voisinage de 0, c'est ln(x)/ (1+x), qui est divergent.
Donc, la somme d'une convergente et d'une divergente est divergente. C'est sa ?
Donc, je ne peux pas calculer sa valeur puisqu'elle est divergente.
C'est bien sa ?,
merci encore !!
Comment obtiens-tu la divergence de cette intégrale ?
pour ln(x)/ (1+x), on peut faire un équivalent avec ln(x)/x ... sauf que je viens de me rendre compte que les bornes ne sont pas bonnes pour utiliser l'intégrale de bertrand.
Donc, avec ce nouvel équivalent ln(x)/ (1+x), en 0, je dois faire quoi ? tjrs dans le but de déterminer la nature de l'intégrale de ln(x)/(1+x)² entre 0 et 1
M'enfin !!! ln(x)/(1+x) n'est pas équivalent à ln(x)/x au voisinage de 0.
Oupss!!! excusez moi; je crois bien que je suis fatigué,
j'ai donné l'équivalent en + infini.
En tout cas, erreur mise à part, je ne suis pas plus avancé.
on a trouvé que l'équivalent de ln(x)/ (1+x)² en 0 est ln(x)/(1+x).
Et que dois-je pour déterminer la nature de l'intégrale sur cet intervalle 0 à 1 ?
Je ne connais aucun intégrale de référence auquel je puisse me référer, donc je suis un peu bloqué ...
Je corrige : on a trouvé que UN équivalent de ln(x)/(1+x)² en 0 est ln(x)/(1+x).
On peut en trouver un autre, encore plus simple.
heu ... j'ai vraiment peur de dire des bétises... ça serait pas ln(x) tout court ?
Si tu n'est vraiment pas sur, tu n'as qu'à calculer la limite du quotient.
[ln(x)/ (1+x)² ] * 1/lnx donne 1/ (1+x)² qui tend bien vers 1 quand x tend vers 0. Donc c'est un équivalent.Si tu n'est vraiment pas sur, tu n'as qu'à calculer la limite du quotient.
On a donc trouvé UN équivalent en 0,
est ce que le raisonnement suivant est bon ?: comme ln(x) est un équivalent en 0, et que ln(x) tend vers - infini quand x tend vers +zéro, je peux affirmer que ma fonction ln(x)/(1+x)² tend aussi vers l'infini, donc sur 0;1, je peux dire que son intégrale est divergente ??
Oui, ln(x) est un équivalent en 0 ; mais où as-tu vu que l'on étudiait la convergence d'une intégrale par la limite infinie de la fonction ? Que penses-tu des intégrales de 1/x et de 1/racine(x) sur ]0;1] ?
On utilise l'intégrale de Riemann, pour 1/racine(x), ça converge puisque alpha=1/2,
et pour 1/x, ça diverge, car l'intégrale de riemann converge seulement si alpha est strictement inférieur à 1. C'est sa ?
Oui, et pourtant les deux fonctions ont une limite infinie en 0 : ce qui prouve que cette limite ne peut constituer un critère de convergence de l'intégrale.
Tu dois donc étudier l'intégrale de ln(x) sur ]0;1] sans te soucier de la limite en 0.
On sait que les primitives de lnx snt xln(x)-x .
Vous voulez que j'étudie la convergence ou divergence de lnx sur ]0; 1] ?
En utilisant une primitive, il est facile de savoir si l'intégrale
L'intégrale de ln(x) sur cet intervalle converge.
Maintenatn qu'on sait que un équivalent est convergent sur 0;1 et que l'intégrale est aussi convergente sur 1;+infini, on peut dire que la somme est convergente.
Mais comment est ce que je calcule la valeur de mon intégrale impropre ?
Merci d'avoir pris le temps de me montrer comment faire.
Un petit changement de variable x = 1/t aiderait sans doute.
qd on fait le changement de variable proposé, je tombe sur une forme que j'ai intégré par parties.
mais le probleme est posé par les bornes . je fais comment ? puisque en 0, c'est tjrs indéfini
Que vous donne bêtement (sans en faire plus, et sans faire la moindre intégration par parties) le changement de variable proposé
Si les limites infinies vous chagrinent, faites-le à l'intégrale définie
Remarque : il ne s'agit pas de calculer l'intégrale, mais d'en déterminer sa valeur, si vous voyez la nuance...
Dernière modification par breukin ; 10/10/2010 à 11h46.
Bonsoir, j'ai fait le changement de variable que vous m'avez indiqué, pour des bornes de 1 à +infini, j'obtiens 0 à 1 de ln(1/x)/ (1+x)² dx. Je fais une IPP et mon résultat final est -1/2 {ln(2)-1} . Me suis-je encore trompé ?
Je ne vois pas la nuance entre calculer l'intégrale et calculer sa valeur ... il y a t il réellement une différence ?
Merci d'avance
Quand tu vois ln(1/x), ça ne te dit rien ?
heu ... c'est ln(1) - ln(x) ie -ln(x) ?
Est ce que ça devrait me dire autre chose ?
Oui, j'avais remarqué ça en faisant en le changement de variable !!!
dc , en passant les intégrales du même côté , et en appliquant la propriété de Chasles, on en conclut que l'intégrale que je cherche a pour valeur 0 ... heu ... c'est sa ?
Calculer une intégrale, c'est obtenir, éventuellement à l'aide de transformations, une expression calculable par intégration, donc en trouvant une primitive. C'est vraiment un calcul F(b)-F(a).
En déterminer la valeur, c'est trouver une relation, une équation, que doit vérifier l'intégrale.
On pourrait aussi parler de "calcul direct" et de "calcul indirect".
