suite et polynôme

[invite201f4c83]

Bonjour à tous, je cherche à résoudre un exercice:
Pour x dans R , P₀(x)=1, P₁(x)=x et pour tout n≥2, P_n(x)=2xP_n-1(x)-P_n-2(x)
1) calculer P₂ et P₃ (c'est fait)
2) Montrer que pour tout n dans R, P_n est une fonction polynôme à coefficients dans Z, dont on précisera la parité, le degré et le coefficient de plus haut degré.
Alors c'est ici que je bloque. J'ai essayé de conjecturer une expression pour P_n en calculant pour plusieurs rangs, mais je n'obtiens rien du tout. Dois-je utiliser la formule avec l'équation caractéristique qui dit que u_n= Dalphaⁿ + Eßⁿ ?
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[invite57a1e779]

Il te suffit simplement d'établir le résultat demandé par récurrence.

[invite201f4c83]

Arf, désolé mais ça ne m'a pas du tout éclairé. "Démontrer le résultat demandé par récurrence" i.e. je dois montrer Pn est une fonction polynôme etc ... mais justement c'est ma question !
Ou alors vous avez cru que "le résultat demandé" c'était de démontrer P_n= 2x P_n-1(x) - P_n-2(x) ? ça c'est l'enoncé qui le dit.
Ou alors j'ai rien compris

[invite57a1e779]

Si tu supposes que P_n-1 et P_n-2 sont des polynômes à coefficients dans Z, il est facile de démontrer que P_n est encore un polynôme à coefficients dans Z.
Il n'y a pas besoin de connaître explicitement leurs coefficients.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite201f4c83]

OK, alors je trouve donc le résultat. Avec degré et coef. du terme de plus haut degré : 2k x^n où k dans Z et pair.

[invite57a1e779]

Il me semble que tu as un problème avec le coefficient du terme de plus haut degré.

[invite201f4c83]

C'est probable, mais je vois ce que ca peut être. au rang 2 c'est 2 au rang 3, c'est 4 et puis, 8,16,32 etc .... mais au rang n ? où alors c'est k dans N

[invite57a1e779]

Quand tu vois : 2,4,8,16,32,... ça ne te donne pas une idée ?

[invite201f4c83]

Mais oui !!! 2^n-1 ! bon, maintenant faut étudier la parité...