Double produit vectoriel

[invitec5197a1e]

Bonjour,

On viens de faire notre premier cours de physique.Et parcequ’on est chanceux notre prof a décidé de nous aider avec des compléments mathématiques. Enfin bref, j'ai voulu démontrer la formule du double produit vectoriel qui dit : (A^B)^C=(A.C)B-(B.C).A (svp considérez que chaque lettre est un vecteur et que le "^" est le signe du produit vectoriel)

donc fastoche pr trouver les coordonnées. et le problème c que je me demandais si y aurait pas un moyen plus simple pr les convertir en produit scalaire, (Autre que celui de nommer chaque paire de coordoné par un point) enfin bref help?
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[KerLannais]

Salut,

Il est clair que les deux membres de l'égalité sont tous les deux trilinéaires (linéaire par rapport à , et , cela découle directement des propriétés de bilinéarité du produit vectoriel, du produit scalaire et du produit scalaire vecteur). Moralité il suffit de vérifié cette formule sur les vecteurs d'une base orthonormé (puisque les applications multilinéaires sont définies par leurs valeurs sur les vecteurs d'une base tout comme les application linéaires qui en sont un exemple particulier). Il s'agit alors de faire une discussion de cas, on note , et les vecteurs de base et on suppose que

Si , et ne sont pas deux à deux distincts alors on peut supposer quitte à les échanger (puisqu'il est évident d'après l'antisymétrie du produit vectoriel et la commutativité des deux autres produit que la formule est invariante par une permutation de , et ,
si la signature de la permutation est alors les deux membres de l'égalité sont inchangés sinon ils sont tous les deux changés en leur opposés ce qui ne change en rien l'égalité) que et dans ce cas il est clair que les deux membres sont tous les deux nuls et donc l'égalité est vérifiée.

Dans le cas où , et sont deux à deux distincts, on peut encore supposer quitte à permuter , et que

et là on va faire le seule calcul vraiment nécessaire dans cette preuve

(si on suppose orthonormée directe alors )

et donc l'égalité est encore vérifiée.

d'où le résultat sans jamais faire appel aux coordonnées et avec pratiquement aucun calcul

[invitec5197a1e]

Merci bien d'avoir voulu répondre a ma requête, cepandant et malheureusement je ne croit pas être assez avancé pour comprendre tout ce que tu as si gentillement expliqué ci-dessus (c la prem foi que je fait des maths en fr), Enfin bref je voudrai plus d'explications quand vous dites :<< Si A, B et C ne sont pas deux à deux distincts alors on peut supposer quitte à les échanger (puisqu'il est évident d'après l'antisymétrie du produit vectoriel et la commutativité des deux autres produit que la formule est invariante par une permutation de A, B et C,>> . Qu'entend-tu par permutation des vecteurs A, B , C?


P_S: Je ne pose une question a propos de quelque chose que si elle n'est pas présente dans mon cahier de cours . Je voudrai maitriser mon analyse vectorielle a 100% avant de commencer les cours de Physique et les TDs...

[KerLannais]

C'est un simple échange des lettres dans la formule. Mais j'ai dit une bétise, j'ai confondu avec le produit mixte qui lui est invariant par permutation:

tu fais tourner les lettres dans la formule et ça ne change pas le résultat. Au début A est dans la première position, B dans la deuxième position et C est dans la troisième position. On tourne, A passe dans la deuxième, B dans la troisième et du coup C revient en première. On tourne encore ... à la prochaine rotation on retombe sur nos pattes.
les autres permutations possibles sont

le signe - est du à l'antisymétrie du produit vectoriel (pour tout vecteurs et ,

Pour le double produit vectoriel cela ne marche pas hélas puisque par exemple

et


Le raisonnement que j'utilisait c'est que lorsque tu doit montrer une égalité du type

et que

et de même

alors pour des vecteurs , et fixés

à ne pas confondre avec l'affirmation

qui elle est toujours vraie même si et sont quelconque puisque dans ce cas les lettres dans la formules sont "muettes".
Quel est l'intérêt de cette remarque sur la symétrie ? cela permet ici de diviser la quantité de travail par 6 ici puisque au lieu de regarder les 6 cas






tu n'as qu'un seul cas à considérer (le premier par exemple)

Pour ton problème on a hélas pas le droit de la faire. Le fait que l'on puisse se restreindre à permet de se ramener à 27 cas (le nombre de mots de trois lettres que l'on peut faire avec les lettres i, j et k) ce qui est encore beaucoup. J'ai traité le cas , ce qui règle 9 cas sur 27. Si alors nécessairement et sont orthogonaux (, et sont deux à deux orthogonaux). Si est distinct de et alors il est orthogonal à chacun et on voit que dans la formule les deux membres de l'égalité sont nuls puisqu'alors est colinéaire à . Il reste le cas où est égal soit à soit à , cette fois-ci on peut supposer sans perte de généralité que (puisque et inversement. On peut donc échanger et dans la formule sans rien changer à l'égalité), de sorte que l'on a juste à traiter 6 des 12 cas restant. En notant on a

(en effet si alors est une base orthonormée directe et )

On a donc cette fois-ci traité tous les cas sans tricher. Maintenant est-ce que c'est moins pénible que de considérer des coordonnées?

[A voir en vidéo sur Futura]

[KerLannais]

A propos des permutations. Une permutation est une application bijective d'un ensemble fini dans lui même. Exemple

et est l'application définie par



est bien une permutation de l'ensemble puisqu'elle est bijective. En effet chaque élément de a un unique antécédent par , l'antécédent de est (puisque et si ), celui de est , et celui de est . A quoi peuvent servir les permutations ? et bien à beaucoup de chose mais pour ce qui t'intéresse cela peut s'appliquer au produit mixte, ou à toute autre forme multilinéaire antisymétrique (les formes multilinéaires sont appelées tenseurs en physique et sont très utiles en mécanique des milieux continus, c-à-d principalement mécanique des fluides et des matériaux élastiques ou plus généralement déformables et certains tenseurs sont antisymétriques)
Le produit mixte est défini par

il utilise les deux produits : scalaire et vectoriels, d'où le nom de produit mixte. C'est une forme trilinéaire qui est antisymétrique au sens où si on échange deux vecteurs dans la formule alors on obtient l'opposé de ce que l'on avait au départ. Exemple

mais on a aussi

et aussi ...
La preuve est simple il suffit de remarquer que lorsque deux vecteurs sont égaux dans un produit mixte celui-ci est nul. En effet, soit les deux premiers sont égaux et auquel cas le produit vectoriel est nul, soit le dernier est égal à l'un des deux premier il est alors forcément orthogonal au produit vectoriel des deux premiers et le produit scalaire est donc nul. La deuxième chose à remarquer c'est qu'alors la somme d'un produit mixte avec le même produit mixte où l'on a échangé deux lettres est nulle. Par exemple

puisque d'après la remarque précédente et par linéarité

d'où

(en exercice si tu veux tu peut montrer que , le principe est le même)
on en déduit que

Autrement dit lorsque le produit mixte est invariant par rotation de ses arguments.
On dit que de façon générale

où est appelée signature de la permutation et vaut soit soit

Un forme multilinéaire

est antisymétrique si le fait d'échanger deux de ses arguments ne fait que changer le signe du résultat en sont opposé. On a encore


tu trouvera une définition mathématique de la signature d'une permutation sur la page
http://fr.wikipedia.org/wiki/Permutation
tout à la fin dans les applications.