IPP entre bornes spéciales

[invite44f9947f]

Hello !

J'achoppe dans la résolution d'un petit problème où l'intégration par parties se présente de façon non ordinaire (du point de vue des bornes), au moins pour moi.

À l'origine, le problème provient de l'aérodynamique de la fusée (portance du fuselage cylindrique autour de l'incidence nulle).

Un aérodynamicien (F. G. Moore) propose la solution suivante :

À nombre de Mach constant, la partie cylindrique du fuselage produit une Portance Normale constante quelle que soit sa longueur (par exemple lorsqu'on l'allonge d'une longueur de 6 diamètres à la longueur de 7 diamètres, la Portance Normale reste la même).

D'autre part, le point d'application de cette Portance Normale est toujours situé à 25% de la longueur de la partie cylindrique.

Ce qui revient à dire que le moment de cette Portance Normale, par rapport au début de la partie cylindrique, est proportionnel à la longueur de cette partie cylindrique.

Mis en équations, ces deux règles de Moore donnent ceci (si l'on appelle f(x) et g(x) les lois de répartition des portances normales élémentaires sur deux parties cylindriques de longueur Lo et La ("La" voulant dire Longueur allongée par rapport à Lo):

--> Sde 0 à Lo de x f(x) dx = (Lo/La) Sde 0 à La de x g(x) dx (c-à-d : moments proportionnels à la longueur de la partie cylindrique)

--> Sde 0 à Lo de f(x) dx = Sde 0 à La de g(x) dx = Cnalpha (c-à-d constance de la Portance Normale que l'on appelle Cnalpha)

L'idée vient alors d'une intégration par parties de l'intégrale en g(x) , puisque l'on connaît l'intégrale de g(x) entre ses bornes (c'est la même que celle de f(x) entre ses propres bornes.

Mais là, il faut jouer fin sur les bornes pour ne pas s'égarer.

Autre information : Une solution triviale du problème est que g(x) ne soit qu'un étirement homothétique de f(x) dans le sens des x (avec compression dans le sens des y) : Le barycentre de l'aire de g(x) est alors bien situé à 25% de La, comme celui de f(x) est situé à 25% de Lo...

J'espère que vous n'êtes pas dégoûté par le libellé que j'ai fait de ce calcul,

en vous remerciant pour votre intérêt,

Bernard de Go mars !
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[inviteaf1870ed]

En fait on ne comprend pas bien ce que tu cherches : l'expression de g(x) ?, g en fonction de f ?
En tous cas tu ne peux trouver l'expression de g(x) pour tout x avec les seuls éléments que tu as donné, me semble t il.

[NicoEnac]

Bonjour,

Je ne suis pas d'accord votre reflexion. En effet, lorsqu'on calcule des moments, on multiplie la force par la distance entre le point d'application et le centre de gravité.

[NicoEnac]

Et donc :

En considérant que le centre de gravité se situe à n% de la longueur :

Pour un cylindre de longueur L₀ : Moment au centre de gravité (considéré comme le centre du cylindre vu qu'on ne nous donne pas plus d'infos) = F_N x (0.n x L₀ - 0.25 x L₀) = F_N x (0.n - 0.25 )x L₀
De même, pour un cylindre de longueur L[IND]a/IND] : Moment = F_N x (0.n - 0.25 )x L[IND]a/IND]

C'est donc bien proportionnel car F_N est le même pour les 2 cas.

j'ai juste une question : pourquoi être passé par des intégrales ? On te dit que la portance normale s'applique à 25% de la longueur. C'est donc une force ponctuelle et c'est fini !

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

Re,

Désolé, je n'avais pas lu (la fatigue peut-être) qu'il s'agissait d'une fusée. Je pensais à un avion. Néanmoins, je ne comprends pas l'usage des intégrales avec une force ponctuelle. Peux-tu faire un schéma ? Et préciser dans quel sens s'applique la force ? Et enfin en quel point souhaites-tu calculer ton moment ?

[invite9c7554e3]

(le forum de physique ne serait pas mieux appropri?)

je n'ai pas bien compris son probleme et ce que l'on cherche mais peut etre une reponse pour la question:

"pourquoi calculer une integrale ou lieu de prendre une force ponctuelle"

==> C'est peut etre car il dispose d'une densité surfacique d'effort et que pour avoir l'effort total il doit integrer sur la surface et ces cet effort qui donnera un moment (si j'ai bien compris de quoi on parlé... )

[invite44f9947f]

Merci les gars pour vos réponses rapide.

Je n'ai pas précisé que ma démarche était une démarche de recherche.
Elle est donc intuitive et floue.

Mais je pense que, ainsi que le dit Ericcc, je pense qu'il y a une chance de trouver analytiquement le type de répartition de la Force Normale à laquelle conduisent les constats que Moore a dégagés (Force Normale constante quelle que soit la longueur de la partie cylindrique et Point d'Application de cette Force Normale à 25% du cylindre).

Ericcc doute qu'il soit possible de dégager une valeur de g(x) par rapport à f(x). Moi je pense que si, même si c'est en toute flouité...

Comme je vous l'écrivais, les deux constats de Moore sont vérifiés lorsque la répartition de la Force Normale (par tranche de cylindre) s'allonge homothétiquement avec la longueur du cylindre (avec une compression également homothétique dans le sens normal, donc dans le sens des modules des Forces Normales élémentaires (pour que l'aire des deux courbes soit la même).

Il me semble donc qu'on devrait pouvoir prouver que cette solution triviale (et intuitive) pour la répartition est un cas particulier de la répartition générale possible.

Bref, lorsque l'on regarde mes deux équations, on voit qu'une IPP est envisageable parce que l'intégrale de f(x) de 0 à Lo et de g(x) de 0 à La sont les mêmes.
le problème, c'est que je ne sais pas appliquer l'IPP sur une intégrale "non résolue" (c-à-d conservant son libellé intégral) à cause du jeu sur les bornes.

Pour vous ça doit être de la bibine, non ?

Je ne voudrais pas vous embêter avec la partie proprement physique de mon texte en préparation :

http://perso.numericable.fr/fbouquet...t_lin_fuse.doc

d'autant plus que la partie qui m'amène vers vous n'y est pas encore...
(on le trouve à la page "Physique de la fusée" de mon site (où vous trouverez quelques jolis calculs intégraux ainsi que de jolis jeux sur les séries avec nombres de Bernoulli) :

http://perso.numericable.fr/fbouquet...s/physique.htm

Oui, il s'agit bien d'aérodynamique, donc d'un genre de physique. Mais il n'est pas interdit à cette aérodynamique de base d'utiliser les maths et spécialement les intégrales ?

Ce que je vous demande ici, c'est d'observer mes deux équations et de chercher à les intégrer.
Peut-être pourra (devra ?) t-on utiliser également une ou deux conditions aux limites :
f(x) = g(x) pour x = 0
et :
f(x) = 0 pour x = Lo ainsi que g(x) = 0 pour x = La

Ce que je cherche c'est en fait la loi de répartition qu'imposent les deux constats de Moore...

En vous remerciant encore,

Bernard de Go mars !