Montrer que : "Pour tout a,b,c appartenant à un intervalle I : (a<b<c) => (f(a)<f(b)<f(c) ou f(a)>f(b)>f(c))." équivaut à la définition classique d'une fonction strictement monotone.
J'ai pensé à le démontrer par double implication: l'une est évidente mais pas l'autre ...
Pouvez-vous m'aider ?
Bonjour,
On suppose qu'il existe a<b<c tel que f(a)<f(b)<f(c) (1).
Alors, si on prend d et e tels que d<e, on a plusieurs cas selon les endroits où sont d et e. J'en fais un pour te montrer l'idée :
Si d<e<a, alors d<a<b et donc f(d)<f(a) (2) (sinon on aurait contradiction avec l'inégalité (1) ) et donc, on a que f(d)<f(e)<f(a) (car on sait par hypothèse que d<e<a => f(d)<f(e)<f(a) ou f(d)>f(e)>f(a), et le second cas est exclu par (2)), donc f(d)<f(e).
Tous les autres cas ressemblent à celui là.
Merci !
J'ai justifié l'autre implication par le fait que c'est transitif.
Mais maintenant on me demande que cette définition est équivalente à :"pour tout a,b appartenant à I: f(]a;b[ intrsection I) est inclus dans : ]f(a);f(b)[."
La stricte croissance implique assez évidemment cette définition.
Sinon pour tout c appartenant à I tel que a < c < b on a d'après l'inclusion que f(c) est dans ]f(a),f(b)[, et donc que f(a)<f(c)<f(b).
Ok en fait les deux implications sont simples ...
Mais a-t-on le droit de dire ici (vu qu'on définit la monotonie d'une fonction), que : ]f(a);f(b)[=]f(b);f(a)[ ?
Mais qu'est-ce que cela apporte de prendre trois variables a, b et c au lieu de deux seulement, dans cette définition de la stricte monotonie ?
