équations differentielles

[chacal66]

bonjour j'aurai besoin d'un peu d'aide sur un exercice...
Soit t₀>0, le problème de cauchy est le suivant: y'(t)=y²+t et y(t0)=0

1.Montrer qu'il existe une unique solution maximale f:]a,b[->R au problème de cauchy:
c'est le théorème de Cauchy Lipschitz avec f(t,y(t))=y²+t qui est C1.
2.Montrer que f est strictement croissante:
y' est strictement positive donc pas de pb
3.Si b est fini, que vaut la limite de f(t) en b,
la solution est maximale donc la limite est l'infini
4.Soit c>0 et c²<t0. Résoudre y'=y²+c² avec y(t0)=0 et montrer que la solution g est définie sur
Pour (H) y'=y² je trouve y_H(t)=-1/(t+c) mais après je galère à trouver la solution particulière avec la variation de la constante...
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[Seirios]

Bonjour,

Il suffit d'intégrer en reconnaissant un arctan.

[chacal66]

arf oui tout simplement, j'ai pas tenu compte du fait que c'est une constante...juste une autre question je dois mettre l'équation x"+x=0 sous la forme y'(t)=f(t,y(t)) avec f 1-Lipschitzienne, je ne vois pas comment faire

[Seirios]

La réduction à une équation différentielle d'ordre un se fait classiquement comme suit : http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89q..._.C3.A9quation

[A voir en vidéo sur Futura]

[chacal66]

donc si j'ai bien compris on a y'(t)=f(t,y(t)) avec y(t)=(x,x') et f(t,y(t))=(x'(t),-x(t)) mais du coup pour montrer qu'elle est Lipschitz on prend quoi comme norme?

[chacal66]

parce que du coup on a
et et je vois pas le lien entre les deux

[Seirios]

La première étape est d'expression sans faire intervenir les fonctions et : avec , et . Pour le choix de la norme, cela n'a pas vraiment d'importance, toutes les normes sont équivalentes en dimension finie.

[invite06622527]

Bonjour,

pour information : y'(t)=y²+t est une EDO de Riccati. Elle se ramène à une EDO linéaire en posant F(t)=-y'/y.
Ceci conduit à une EDO de Bessel dont les solutions s'expriment avec les fonction de Bessel d'ordre 1/3 et -1/3 (ou avec les fonction d'Airy).

[chacal66]

La première étape est d'expression sans faire intervenir les fonctions et : avec , et . Pour le choix de la norme, cela n'a pas vraiment d'importance, toutes les normes sont équivalentes en dimension finie.

ok en gros c'est f : (t,u,v)->(v,-u) et f est C1 donc Lipschitzienne mais après pour me ramener à y'(t)=f(t,y(t)) il suffit que je pose y(t)=(x,x') ?

[Seirios]

Tu ne peux pas déduire que est lipschitzienne du fait que soit de classe , a priori tu ne peux dire que est localement lipschitzienne. Cela dit, tu peux facilement montrer directement que est -lipschitzienne, avec la norme opérateur de .

Maintenant, si , alors l'équation différentielle devient avec comme ci-dessus.