Changement de variables d’une fonction de variable aléatoires non monotone

[invitebebc7316]

Bonjour,

Je n’arrive pas à trouver une formule générale pour effectuer un changement de variable pour une fonction à v.a.r. continue NON MONOTONE. SVP expliquer sur cet exemple :

Soit X une v.a.r. uniformément répartie sur [0 2π], et Y = g(x) = sin X . Déterminer f_Y.

Avec la formule (si g(x) est monotone) f_Y(y)= f_X(g^-1(y)) / |g'(g^-1(y))|, l’intégrale de f_Y me donne 1/2 aul ieu 1.

Je sais que la sinus est strictement croissante sur [0 π/2] et [(3π)/2 2π] et strictement décroissante [π/2 (3π)/2].

Merci en avance
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[Tropique]

Bonjour kimo204,

Ta question est fondamentalement du domaine mathématique (même si l'application est peut-être électronique).
Tu as plus de chances d'avoir des réponses pertinentes sur ce forum ==> déplacement.

[invitec5eb4b89]

Bonjour,

Il me semble que la réponse à ta question se trouve ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Densit%...obabilit%C3%A9 (§ "Fonction d'une variable aléatoire réelle à densité").

Il faudrait "sommer" les fonctions obtenues sur les sous-intervalles de [0,2*pi] sur lesquelles la fonction sinus et monotone (donc ici, tu as une somme à trois termes). Est-ce que c'est ce que tu as déjà fait ? Si oui, est-ce que tu peux essayer de développer le calcul pour que l'on t'aide à trouver l'erreur ?

V.

[invitebebc7316]

f_X(x) = 1/(2*pi)
Y = g(x) = sin(x). Puisque x [0,2pi], alors y [-1,1] et:
g'(x) = cos(x)
g^-1(x) = arcsin(x)
Puis j'ai utilisé la formule d'une fonction monotone. (ce qui est faut)
f_Y(y) = f_X/ (|g'(g^-1(y))|) =1 / (2*pi*|cos(acrsin(y))| = 1/(2*pi*|racine(1-y²)| = 1/ (2*pi*racine(1-y²)).

donc l'intégrale de f_Y(y) sur -1 a 1 = (1/2*pi) [arcsin(y)]_-1¹ = 1/2 n'égale pas 1

Je ne sais pas comment appliquer ce qui sur wikipedia a mon problème. Je divise g(x) en trois parties ou elle est monotone, puis je les ajoute, comment? Mais je veux quelque détailles. Je peux dire que:
g(x) =
sin(x) sur [0 , pi/2]
cos(x-pi) sur [pi/2 , 3pi/2]
-sin(x-pi) sur [3pi/2 , 2pi]

Est-ce qu'il y a une méthode pour écrire les équations ici?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Est-ce qu'il y a une méthode pour écrire les équations ici?

Oui : http://forums.futura-sciences.com/fo...e-demploi.html

[invitec5eb4b89]

Ton calcul est correct, mais il n'a été effectué que sur une 'moitié' de l'intervalle sur laquelle la fonction sinus admet une fonction réciproque. Il suffit d refaire le même raisonnement sur l'autre 'moitié', sommer les deux, et hop !