Convergance d'une serie avec (-1)^n

**ichigo01** · 17/10/2010, 22h56

Salut à tous !

Voilà, j'étudie la convergence d'une série selon les valeur de $\text{[math]}$ , la série est de terme général : $\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$ , on a : $\text{[math]}$ tend vers 0, est ce que j'ai alors le droit de dire que Un tend vers 1 , et par suite la série diverge grossièrement !

Edit : je pense que c'est évident

car les deux sous suite extraite : la suite de terme paire n = 2p et la suite de terme impaire n = 2p + 1 toute les 2 convergent vers 1 !!

Merci d'avance !

**Seirios** · 17/10/2010, 23h00

Bonsoir,

Je n'ai pas vérifié, mais pour $\text{[math]}$ , tu devrais utiliser (à partir d'un certain rang) les résultats sur les séries alternées.

**ichigo01** · 17/10/2010, 23h06

Envoyé par Phys2

Bonsoir,

Je n'ai pas vérifié, mais pour $\text{[math]}$ , tu devrais utiliser (à partir d'un certain rang) les résultats sur les séries alternées.

D'accord donc pour $\text{[math]}$ : à partir d'un certain rang $\text{[math]}$ est équivalent à $\text{[math]}$ or la suite : $\text{[math]}$ est décroissante et tend vers 0 d'où la convergence par le critère spécial des séries alternées.

Merci !

**ichigo01** · 17/10/2010, 23h11

Pour le premier cas de $\text{[math]}$ est ce que j'ai le droit de dire que le terme général converge vers 1 !

Est ce que les 2 sous suite paire et impaire sons suffisante pour le montrer !

Merci d'avance de votre aide !

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**Seirios** · 17/10/2010, 23h15

Envoyé par ichigo01

D'accord donc pour $\text{[math]}$ : à partir d'un certain rang $\text{[math]}$ est équivalent à $\text{[math]}$ or la suite : $\text{[math]}$ est décroissante et tend vers 0 d'où la convergence par le critère spécial des séries alternées.

Attention : si tu as deux suites équivalentes, elles n'ont pas nécessairement la même monotonie.

Envoyé par ichigo01

Pour le premier cas de $\text{[math]}$ est ce que j'ai le droit de dire que le terme général converge vers 1 !

Est ce que les 2 sous suite paire et impaire sons suffisante pour le montrer !

C'est tout à fait correct.

**Seirios** · 17/10/2010, 23h19

Attention : si tu as deux suites équivalentes, elles n'ont pas nécessairement la même monotonie.

Un contre-exemple quand même : $\text{[math]}$ ; la première n'est ni croissante, ni décroissante et la seconde est décroissante.

**ichigo01** · 17/10/2010, 23h32

Je peux montrer que la série est absolument convergente pour $\text{[math]}$ en effet on a :

$\text{[math]}$ qui d'après un certain rang est équivalente à : $\text{[math]}$ qui est le terme général d'une série de Riemann !

Mais il me reste le cas : $\text{[math]}$

invitec317278e · 18/10/2010, 10h36

Envoyé par Phys2

Bonsoir,

Je n'ai pas vérifié, mais pour $\text{[math]}$ , tu devrais utiliser (à partir d'un certain rang) les résultats sur les séries alternées.

Et non

Pour $\text{[math]}$ , la suite n'est monotone à partir d'aucun rang.

On peut en revanche écrire :

$\text{[math]}$ .

d'où $\text{[math]}$ équivaut à $\text{[math]}$ , qui est de signe constant.

Sur les 3 termes généraux de séries qui apparaissent alors, on connait la convergence de séries associées à deux d'entre eux et tout se passe bien.

invitec317278e · 18/10/2010, 10h49

Une autre idée (sans doute plus originale) serait d'étudier $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Convergance d'une serie avec (-1)^n

Convergance d'une serie avec (-1)^n

Re : Convergance d'une serie avec (-1)^n

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Re : Convergance d'une serie avec (-1)^n

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