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Il est évident qu'il s'agit d'un carré



  1. #1
    prgasp77

    Il est évident qu'il s'agit d'un carré


    ------

    Bonjour à tous,
    à votre avis, étant données les coordonnées de quatre points sur un plan muni d'un repère orthonormé, quelle est la plus belle (la moins couteuse en caractère ou la plus loufoque) démonstration amenant à la conclusion que ces quatre points forment un carré.

    Nota : la "méthode" donnée dans le titre ne compte pas .
    Nota 2 : j'ai eu envie d'écrire "qu'il s'agisse d'un carré" mais j'ai finalement opté pour l'indicatif du fait que la subordination s'applique non pas au verbe (comme dans "il faut qu'il s'agisse d'un carré") mais à la proposition tout entière. Qu'en pensez-vous ?

    Merci.

    -----
    --Yankel Scialom

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  3. #2
    Ksilver

    Re : Il est évident qu'il s'agit d'un carré

    Salut !

    je pense qu'on doit avoir un critère dans le genre :

    si on ce donne a,b,c et d les affixe complexe des point, alors ca forme un carré (ordoné en sens trigonométrique) si et seulement si :

    a+i.b-c-id=0
    a-b+c-d=0

    à vérifier...

  4. #3
    Gwyddon

    Re : Il est évident qu'il s'agit d'un carré

    Salut,

    2 méthodes :

    _ première méthode entièrement visuelle : on place les quatre points dans un repère, on repère ce qui pourrait constituer les deux diagonales. On les trace, on prend leur intersection. A partir de là, on prend un compas, écartement entre cette intersection et un des quatre points extrémités des deux "diagonales" ; si le cercle tracé passe par les 4 points, on a bien un carré.

    _ deuxième méthode, calculatoire : ayant placé les quatre points dans un repère, on labelise les quatre points de telle sorte que AC soit une éventuelle diagonale et AB, AD les côtés du quadrilatère.

    On calcule AB.AD et AC.BD : si ces deux produits scalaires font zéro, alors c'est un carré.

    Cordialement,

    G.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  5. #4
    Médiat

    Re : Il est évident qu'il s'agit d'un carré

    Je suis d'accord (avec Ksilver) :
    a+c = b+d exprime que les diagonales se coupent en leur milieu
    a-c = i(d-b) exprime que les diagonales sont perpendiculaires et de même norme

    Salut Gwyddon : welcome back
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. #5
    skydancer

    Arrow Re : Il est évident qu'il s'agit d'un carré

    Bonjour,

    Je suis pas certain pour ces méthodes...

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Salut,

    2 méthodes :

    _ première méthode entièrement visuelle : on place les quatre points dans un repère, on repère ce qui pourrait constituer les deux diagonales. On les trace, on prend leur intersection. A partir de là, on prend un compas, écartement entre cette intersection et un des quatre points extrémités des deux "diagonales" ; si le cercle tracé passe par les 4 points, on a bien un carré.
    Ou bien un rectangle...

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message

    _ deuxième méthode, calculatoire : ayant placé les quatre points dans un repère, on labelise les quatre points de telle sorte que AC soit une éventuelle diagonale et AB, AD les côtés du quadrilatère.

    On calcule AB.AD et AC.BD : si ces deux produits scalaires font zéro, alors c'est un carré.

    G.
    Ou autre chose....qui ressemblerait à un cerf volant ?!

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Gwyddon

    Re : Il est évident qu'il s'agit d'un carré

    Citation Envoyé par skydancer Voir le message
    Bonjour,
    Ou bien un rectangle...
    En effet, mea culpa.

    Par contre,

    Ou autre chose....qui ressemblerait à un cerf volant ?!
    Vu comme j'ai présenté la labelisation ce cas ne se pose pas.

    G.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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  10. #7
    prgasp77

    Re : Il est évident qu'il s'agit d'un carré

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    On calcule AB.AD et AC.BD : si ces deux produits scalaires font zéro, alors c'est un carré.
    J'ai bien peur que
    A(-1;0), B(1;0), C(2;0), D(0;-1) satisfassent ton critère. Il existe d'autres quadrilatères encore plus quelconques que le satisfassent eux aussi

    Merci Médiat et Ksilver, en effet c'est beau de simplicité.
    Et concernant mon "Nota2", quelqu'un a un commentaire à faire ?
    Edit : en relisant le message de Médiat, j'ai cru comprendre qu'il acquiesçait implicitement.
    --Yankel Scialom

  11. #8
    Gwyddon

    Re : Il est évident qu'il s'agit d'un carré

    Bon bah comme méthode simple sans passer par les complexes, je ne vois pas, je me suis planté sur toute la ligne

    G.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  12. #9
    skydancer

    Re : Il est évident qu'il s'agit d'un carré

    Moi aussi, j'ai rien trouver de plus compact que la solution passant par les complexes. On a notre gagnant !

  13. #10
    Gwyddon

    Re : Il est évident qu'il s'agit d'un carré

    Remarque..

    Reprenons la méthode visuelle que j'ai présentée. On a démontré que c'est un rectangle, au moins, si le cercle centré en l'intersection des "diagonales" et de rayon la moitié d'une des "diagonales" passe bien par les 4 points. On peut prendre un des quatre sommets (disons A) et tracer un cercle de centre A et de longueur AB où B est un sommet voisin. Si ce cercle passe par le second sommet voisin de A, alors là on a bien un carré. Enfin
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  14. #11
    Amanuensis

    Re : Il est évident qu'il s'agit d'un carré

    La méthode de Ksilver a un petit défaut, elle demande de tester jusqu'à 6 fois le critère, puisqu'il ne marche que pour un bon ordre des points.

    Je me suis demandé si on pouvait avoir un critère unique, indépendant de l'ordre. Je ne pas sûr de moi, mais il est possible que le critère suivant marche :

    et

    À confirmer...
    Dernière modification par Amanuensis ; 22/10/2010 à 16h56.

  15. #12
    Amanuensis

    Re : Il est évident qu'il s'agit d'un carré

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    La méthode de Ksilver a un petit défaut, elle demande de tester jusqu'à 6 fois le critère, puisqu'il ne marche que pour un bon ordre des points.

    Je me suis demandé si on pouvait avoir un critère unique, indépendant de l'ordre. Je ne pas sûr de moi, mais il est possible que le critère suivant marche :

    et
    non, faut aussi le dernier, soit

    et et

    Mais cela reste à confirmer...

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  17. #13
    Amanuensis

    Re : Il est évident qu'il s'agit d'un carré

    Une variante :



    avec une notion d'égalité particulière, mais intuitive, entre les deux groupements...

  18. #14
    Médiat

    Re : Il est évident qu'il s'agit d'un carré

    Si j'ai bien compris votre remarque (que l'égalité n'est pas celle des ensembles, le fait que 1 soit répété me confirmant cette hypothèse) vous pouvez l'écrire comme des triplets :

    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  19. #15
    Amanuensis

    Re : Il est évident qu'il s'agit d'un carré

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Si j'ai bien compris votre remarque (que l'égalité n'est pas celle des ensembles, le fait que 1 soit répété me confirmant cette hypothèse) vous pouvez l'écrire comme des triplets :

    Comment distingue-t-on cette notation de celle de l'égalité entre éléments de C3 ?

    L'idée serait =(1,1,-1) ou =(1,-1,1) ou =(-1,1,1)

  20. #16
    Médiat

    Re : Il est évident qu'il s'agit d'un carré

    J'avais compris que vous vouliez l'élément de C3.

    Comme façon non ambiguë de l'écrire je ne vois que


    Comme façon économique je ne vois que


    mais à condition de préciser qu'il s'agit de multisets (je ne sache pas qu'il y ait une notation particulière, il suffit de (mais il faut) le préciser) et non d'ensembles.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  21. #17
    Amanuensis

    Re : Il est évident qu'il s'agit d'un carré

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    mais à condition de préciser qu'il s'agit de multisets (je ne sache pas qu'il y ait une notation particulière, il suffit de (mais il faut) le préciser) et non d'ensembles.
    Je ne connaissais pas "multiset", c'est ce que j'aurais dû utiliser pour être clair.

  22. #18
    Amanuensis

    Re : Il est évident qu'il s'agit d'un carré

    Mais sinon sur le sujet, ça marche, c'est-à-dire y-a-t'il autre chose que des quadruplets disposés en carré qui respectent ces critères ? Aussi bien pour les puissance 4 que les puissances 2 ?

    Sauf erreur pour les puissances 2, les deux valeurs à 1 donnent un parallélogramme et la valeur à -1 indique que les diagonales sont égales et se coupent à angle droit.

    Pour les puissances 4 c'est un peu plus compliqué.

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  24. #19
    hhh86

    Re : Il est évident qu'il s'agit d'un carré

    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  25. #20
    prgasp77

    Re : Il est évident qu'il s'agit d'un carré

    Bonjour et merci de vous impliquer dans ce petit exercice. La démonstration suivante est-elle satisfaisante à votre avis ?

    ABCD est un carré si et seulement si les affixes de ses points (respectivement a, b, c et d) vérifient l'équation

    est l'angle exprimé en radian entre une diagonale dudit carré et l'axe des abscisses.

    Pour information, il s'agit de l'équation ayant sibie une "translation" (), une "rotation" () et une "mise à l'échelle" ().

    Et toujours rien sur la conjugaison de ma question ... à croire que nous les mathématiciens avons beaucoup de mal avec l'emploi du subjonctif
    --Yankel Scialom

  26. #21
    prgasp77

    Re : Il est évident qu'il s'agit d'un carré

    Erratum, comprendre
    Dernière modification par prgasp77 ; 24/10/2010 à 23h55.
    --Yankel Scialom

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