Il est évident qu'il s'agit d'un carré

[invite7553e94d]

Bonjour à tous,
à votre avis, étant données les coordonnées de quatre points sur un plan muni d'un repère orthonormé, quelle est la plus belle (la moins couteuse en caractère ou la plus loufoque) démonstration amenant à la conclusion que ces quatre points forment un carré.

Nota : la "méthode" donnée dans le titre ne compte pas .
Nota 2 : j'ai eu envie d'écrire "qu'il s'agisse d'un carré" mais j'ai finalement opté pour l'indicatif du fait que la subordination s'applique non pas au verbe (comme dans "il faut qu'il s'agisse d'un carré") mais à la proposition tout entière. Qu'en pensez-vous ?

Merci.
-----

[invite4ef352d8]

Salut !

je pense qu'on doit avoir un critère dans le genre :

si on ce donne a,b,c et d les affixe complexe des point, alors ca forme un carré (ordoné en sens trigonométrique) si et seulement si :

a+i.b-c-id=0
a-b+c-d=0

à vérifier...

[invite9c9b9968]

Salut,

2 méthodes :

_ première méthode entièrement visuelle : on place les quatre points dans un repère, on repère ce qui pourrait constituer les deux diagonales. On les trace, on prend leur intersection. A partir de là, on prend un compas, écartement entre cette intersection et un des quatre points extrémités des deux "diagonales" ; si le cercle tracé passe par les 4 points, on a bien un carré.

_ deuxième méthode, calculatoire : ayant placé les quatre points dans un repère, on labelise les quatre points de telle sorte que AC soit une éventuelle diagonale et AB, AD les côtés du quadrilatère.

On calcule AB.AD et AC.BD : si ces deux produits scalaires font zéro, alors c'est un carré.

Cordialement,

G.

[Médiat]

Je suis d'accord (avec Ksilver) :
a+c = b+d exprime que les diagonales se coupent en leur milieu
a-c = i(d-b) exprime que les diagonales sont perpendiculaires et de même norme

Salut Gwyddon : welcome back

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite79d10163]

Bonjour,

Je suis pas certain pour ces méthodes...

Salut,

2 méthodes :

_ première méthode entièrement visuelle : on place les quatre points dans un repère, on repère ce qui pourrait constituer les deux diagonales. On les trace, on prend leur intersection. A partir de là, on prend un compas, écartement entre cette intersection et un des quatre points extrémités des deux "diagonales" ; si le cercle tracé passe par les 4 points, on a bien un carré.

Ou bien un rectangle...

_ deuxième méthode, calculatoire : ayant placé les quatre points dans un repère, on labelise les quatre points de telle sorte que AC soit une éventuelle diagonale et AB, AD les côtés du quadrilatère.

On calcule AB.AD et AC.BD : si ces deux produits scalaires font zéro, alors c'est un carré.

G.

Ou autre chose....qui ressemblerait à un cerf volant ?!

[invite9c9b9968]

Bonjour,
Ou bien un rectangle...

En effet, mea culpa.

Par contre,

Ou autre chose....qui ressemblerait à un cerf volant ?!

Vu comme j'ai présenté la labelisation ce cas ne se pose pas.

G.

[invite7553e94d]

On calcule AB.AD et AC.BD : si ces deux produits scalaires font zéro, alors c'est un carré.

J'ai bien peur que
A(-1;0), B(1;0), C(2;0), D(0;-1) satisfassent ton critère. Il existe d'autres quadrilatères encore plus quelconques que le satisfassent eux aussi

Merci Médiat et Ksilver, en effet c'est beau de simplicité.
Et concernant mon "Nota2", quelqu'un a un commentaire à faire ?
Edit : en relisant le message de Médiat, j'ai cru comprendre qu'il acquiesçait implicitement.

[invite9c9b9968]

Bon bah comme méthode simple sans passer par les complexes, je ne vois pas, je me suis planté sur toute la ligne

G.

[invite79d10163]

Moi aussi, j'ai rien trouver de plus compact que la solution passant par les complexes. On a notre gagnant !

[invite9c9b9968]

Remarque..

Reprenons la méthode visuelle que j'ai présentée. On a démontré que c'est un rectangle, au moins, si le cercle centré en l'intersection des "diagonales" et de rayon la moitié d'une des "diagonales" passe bien par les 4 points. On peut prendre un des quatre sommets (disons A) et tracer un cercle de centre A et de longueur AB où B est un sommet voisin. Si ce cercle passe par le second sommet voisin de A, alors là on a bien un carré. Enfin

[Amanuensis]

La méthode de Ksilver a un petit défaut, elle demande de tester jusqu'à 6 fois le critère, puisqu'il ne marche que pour un bon ordre des points.

Je me suis demandé si on pouvait avoir un critère unique, indépendant de l'ordre. Je ne pas sûr de moi, mais il est possible que le critère suivant marche :

et

À confirmer...

[Amanuensis]

La méthode de Ksilver a un petit défaut, elle demande de tester jusqu'à 6 fois le critère, puisqu'il ne marche que pour un bon ordre des points.

Je me suis demandé si on pouvait avoir un critère unique, indépendant de l'ordre. Je ne pas sûr de moi, mais il est possible que le critère suivant marche :

et

non, faut aussi le dernier, soit

et et

Mais cela reste à confirmer...

[Amanuensis]

Une variante :



avec une notion d'égalité particulière, mais intuitive, entre les deux groupements...

[Médiat]

Si j'ai bien compris votre remarque (que l'égalité n'est pas celle des ensembles, le fait que 1 soit répété me confirmant cette hypothèse) vous pouvez l'écrire comme des triplets :

[Amanuensis]

Si j'ai bien compris votre remarque (que l'égalité n'est pas celle des ensembles, le fait que 1 soit répété me confirmant cette hypothèse) vous pouvez l'écrire comme des triplets :

Comment distingue-t-on cette notation de celle de l'égalité entre éléments de C³ ?

L'idée serait =(1,1,-1) ou =(1,-1,1) ou =(-1,1,1)

[Médiat]

J'avais compris que vous vouliez l'élément de C³.

Comme façon non ambiguë de l'écrire je ne vois que


Comme façon économique je ne vois que


mais à condition de préciser qu'il s'agit de multisets (je ne sache pas qu'il y ait une notation particulière, il suffit de (mais il faut) le préciser) et non d'ensembles.

[Amanuensis]

mais à condition de préciser qu'il s'agit de multisets (je ne sache pas qu'il y ait une notation particulière, il suffit de (mais il faut) le préciser) et non d'ensembles.

Je ne connaissais pas "multiset", c'est ce que j'aurais dû utiliser pour être clair.

[Amanuensis]

Mais sinon sur le sujet, ça marche, c'est-à-dire y-a-t'il autre chose que des quadruplets disposés en carré qui respectent ces critères ? Aussi bien pour les puissance 4 que les puissances 2 ?

Sauf erreur pour les puissances 2, les deux valeurs à 1 donnent un parallélogramme et la valeur à -1 indique que les diagonales sont égales et se coupent à angle droit.

Pour les puissances 4 c'est un peu plus compliqué.

[invite5150dbce]

[invite7553e94d]

Bonjour et merci de vous impliquer dans ce petit exercice. La démonstration suivante est-elle satisfaisante à votre avis ?

ABCD est un carré si et seulement si les affixes de ses points (respectivement a, b, c et d) vérifient l'équation

où est l'angle exprimé en radian entre une diagonale dudit carré et l'axe des abscisses.

Pour information, il s'agit de l'équation ayant sibie une "translation" (), une "rotation" () et une "mise à l'échelle" ().

Et toujours rien sur la conjugaison de ma question ... à croire que nous les mathématiciens avons beaucoup de mal avec l'emploi du subjonctif

[invite7553e94d]

Erratum, comprendre