Salut, je désespère complètement devant cette question qui a l'air plutot simple
Soit g une application de R^3 dans R^3 telle que g(x,y,z)=(x+2z,z,y-x-z)
J'ai montré facilement que cette fonction est bijective, et j'ai trouvé sa réciproque, en résolvant l'équation g(x,y,z)=(x',y',z').
Ensuite, on considère l'ensemble des nombres premiers p>5 congrus à 1 modulo 4. Donc p peut s'écrire sous la forme p=4m+1.
On veut montrer que tous les p peuvent s'écrire sous la forme de 2 carrés. On considère alors l'ensemble S des entiers naturels (x,y,z) tels que x^2+4yz=p=4m+1 (on a donc m>3, car p>5)
Il est facile de constater que S est fini (x, y et z peuvent tous prendre des valeurs restreintes à l'ensemble des entiers entre 1 et p).
On "découpe " l'ensemble S en 3 sous ensembles:
S1={(x,y,z) appartient à S , tels que x<y-z}
S2={(x,y,z) appartient à S , tels que y-z<x<2y}
S3={(x,y,z) appartient à S , tels que 2y<z}
On montre dans un premier temps que S1 , S2 et S3 sont non vides, en trouvant des triplets "triviaux" qui vérifient les conditions d'appartenance.
Ensuite, il est un peu plus délicat de prouver, par l'absurde , que S=S1 U S2 U S3
On me demande ensuite de prouver que g(S1)=S3 , puis que l'application g' de S1 dans S3 définie par quelque soit x dans S1 , g'(x)=g(x) est une bijection.
C'est cette dernière question qui me pose le plus de difficultés, et je prie quelqu'un de m'aider
J'ai réussi (je crois) à démontrer l'inclusion de g(S1) dans S3:
Je prends un triplet (a,b,c) dans S1 et je montre que (a',b',c') appartient à S3.
(a,b,c) appartient à S1 donc : a^2+4bc=p et a<b-c
on a: a'=a+2c
b'=c
c'=b-c-a
On constate que a'^2+4b'c'=p
De plus, comme a>0 => a+2c>2c => a'>2b' , donc a',b',c' dans S3 . (ce qui me semble bizzare comme demo, car je n'ai pas utilisé l'inégalité propre à S1).
Pour la bijection, je n'y arrive tout simplement pas.
Merci d'avance pour votre patience . En espérant créer un débat à la fois enrichissant et interessant.
Au revoir.
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Envoyé par hhh86 
