espace vectoriel et s.e.v?

[invite5d711f95]

Bonjour à tous!
Je ne suis pas fort en math mais je dois quand même l'apprendre et surtout le comprendre.

Donc ma question est qu'est réelement un espace vectoriel?
-est tout simplement un espace de vecteur, c'est-à-dire un espace3D avec plusieurs vecteurs, une infinité?
Si ce n'est pas ca, j'aimerai avoir une idée, explication pour pouvoir d'abord me représenter sa dans ma tête ou sinon je ne comprend rien à la suite du cours.

Et même question pour sous espace vectoriel.
On dit toujours que c'est une partie de l'espace vectoriel, mais c'est quoi précisément?
(j'aimerai aussi me le représenter mentalement.)

Votre aide me sera d'une grande utilité.
Je vous en remercie d'avance!
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[Médiat]

Donc ma question est qu'est réelement un espace vectoriel?

Une généralisation/formalisation de la notion de vecteur que l'on peut "rencontrer" dans le plan d'une feuille de cahier ou d'un tableau noir.

-est tout simplement un espace de vecteur

Oui, mais cela ne fait pas avancer le problème

, c'est-à-dire un espace3D

Pas forcément, cela peut être un espace 1D, 2D, 4D ou 65454654D, ou plus

avec plusieurs vecteurs,

Dans la plupart des cas.

une infinité?

Dans la plupart des cas (les exceptions sont moins intuitives).

Si ce n'est pas ca, j'aimerai avoir une idée, explication pour pouvoir d'abord me représenter sa dans ma tête ou sinon je ne comprend rien à la suite du cours.

Pour avoir une idée intuitive d'un espace vectoriel, vous pouvez penser à un plan, ou un espace 3D, et si vous en avez un peu l'habitude, vous pouvez penser à des ensembles de polynomes (c'est un tout petit peu plus abstrait, mais on peut y faire les mêmes opérations : addition, multiplication par un scalaire (un réel dans beaucoup de cas, mais on peut envisager d'autres ensembles de scalaires), les notions de familles libres ou génératrices s'y retrouvent etc.

Et même question pour sous espace vectoriel.
On dit toujours que c'est une partie de l'espace vectoriel, mais c'est quoi précisément?
(j'aimerai aussi me le représenter mentalement.)

Un sous-espace vectoriel est un sous-ensemble d'un espace vectoriel qui est un espace vectoriel, par exemple une droite dans un plan, ou si vous considérez l'ensemble des polynomes de degré au plus 3 (qui est un espace vectoriel), alors l'ensemble des polynomes de degré au plus 2 en est un sous-espace vectoriel.

[invite5d711f95]

Merci beaucoup pour vos réponses.


Mais,

Un sous-espace vectoriel est un sous-ensemble d'un espace vectoriel qui est un espace vectoriel,...

j'ai du mal à comprendre cela.
C'est quoi le sous-ensemble de l'espace vectoriel qu'on "sélectionne(mit en évidence)"?
Parce que si je dis pas de bêtise, un espace vectoriel n'est pas limité, en tout cas théoriquement. non?
Mais étant donné cela, le sous-espace vectoriel peut être assimilé à un espace vectoriel?

Désolé, je m'embrouille

[invite5d711f95]

(je continue là car 5min d' edit expirées)

Et donc espace vectoriel=sous espace vectoriel.
Mais alors quand se fait sentir la différence entre ces derniers?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Mais alors quand se fait sentir la différence entre ces derniers?

Il n'y a pas de différence de nature entre un espace vectoriel et un sous espace vectoriel, c'est juste une notion d'inclusion (l'inclusion simple au sens des ensembles n'est pas suffisante).

Je vous donne un autre exemple sur les polynomes :
Soit E l'espace vectoriel des polynomes de degré au plus 3, c'est bien un espace vectoriel, et je peux le considérer comme un sous-espace vectoriel particulier de l'espace vectoriel des polynomes de degré au plus 4 ou au plus 654 (voire des exemples plus compliqués).

[invite9617f995]

Prenons l'exemple de l'espace 3D (qu'on appelle R³) : un sev de R³ n'est pas juste une "restriction spatiale" dans l'espace 3D comme par exemple l'intérieur d'un cube ou d'une sphère, mais une restriction disons "directionnelle".
L'exemple le plus simple de sev de R³ est une droite : c'est aussi un espace vectoriel, compris dans R³, mais qui ne comprends pas tous les éléments de R³ car limitée à une direction. De même, les plans sont des sev, limités à 2 dimensions.

J'espère avoir été clair,
Silk