Exponentielle d'un petit nombre

[invitef9469222]

Bonjour à tous!

J'aurais besoin d'un peu d'aide pour comprendre une propriété de l'exponentielle. En effet je suis confronté en physique à l'équation de Boltzmann qui se présente comme ceci :

n+/n- = exp(deltaE/(kT)) avec kT>>deltaE

Ce sur quoi on conclut que ceci est environ = 1 + deltaE/kT

C'est sur ce point que j'aurais aimé un éclaircissement, je ne trouve pas de démonstration. Pourquoi l'exponentielle d'un "petit nombre" est-elle égale à 1 + "petit nombre" ? Est-ce empirique ?

Merci de l'aide!
-----

[invitec317278e]

Sais-tu ce qu'est un développement limité ?

[invitef9469222]

Non je ne connais malheureusement pas cela...

[invite9617f995]

L'idée du développement limité (DL) d'ordre n en x₀ est d'approximer une fonction par un polynôme de degré n, autour de x₀.

Tu connais en fait peut-être déjà le DL d'ordre 1 qui est l'équation de la tangente : y=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀).

Il existe une formule similaire généralisant les DL d'ordres n, sachant que plus n est grand et plus ton nombre x est proche de x₀, plus l'approximation est bonne.

Dans ton cas, tu fais un DL de l'exponentielle à l'ordre 1, autour de 0 : comme exp(0)=1 et exp'(0)=1, tu approximes l'exponentielle par 1+x.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef9469222]

Merci de ton aide! Je vais essayer de me plonger un peu là dedans...!