Norme et produit scalaire

[invitebe08d051]

Salut,

J'ai un petit problème avec une propriété que notre prof a utilisé sans démontrer, en fait je voudrais trouver un critère pour trancher si une certaine norme sur un EVN provient ou non d'un produit scalaire.

D'après ce que j'ai lu, il y a équivalence entre le fait qu'une norme soit euclidienne et qu'elle vérifie:

Si un EVN:
ssi liée.

Je ne vois pas comment on peut démontrer cela, si vous pouvez me filer des pistes, je vous serai reconnaissant.

D'autres part, j'ai un autre problème, dans un certain exercice, notre prof a choisi une norme qui vérifie , je précise qu'on travaille bien sur une algèbre.

Il justifia cela en parlant d'équivalence de normes !!!

Je me demande qu'est ce qui garantie sur une algèbre quelconque l'existence d'une telle norme ??

Qu'en pensez vous ?

Cordialement
Mimo
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[Seirios]

Bonjour,

J'ai un petit problème avec une propriété que notre prof a utilisé sans démontrer, en fait je voudrais trouver un critère pour trancher si une certaine norme sur un EVN provient ou non d'un produit scalaire.

D'après ce que j'ai lu, il y a équivalence entre le fait qu'une norme soit euclidienne et qu'elle vérifie:

Si un EVN:
ssi liée.

Cela dit, l'équivalence me semble fausse, l'égalité dépend du signe du coefficient qui relie x et y (dans le cas des réels).

D'autres part, j'ai un autre problème, dans un certain exercice, notre prof a choisi une norme qui vérifie , je précise qu'on travaille bien sur une algèbre.

Il justifia cela en parlant d'équivalence de normes !!!

Je me demande qu'est ce qui garantie sur une algèbre quelconque l'existence d'une telle norme ??

C'est la définition d'une norme sur une algèbre, donc est-ce que tu te places sur une algèbre quelconque ou simplement sur une algèbre normée ?

[invite57a1e779]

je voudrais trouver un critère pour trancher si une certaine norme sur un EVN provient ou non d'un produit scalaire.

Il faudrait aller voir du côté de l'identité du parallélogramme : .

[invitebe08d051]

Cela dit, l'équivalence me semble fausse, l'égalité dépend du signe du coefficient qui relie x et y (dans le cas des réels).

Effectivement, il n'y a qu'une implication qui est vraie (le sens direct), cela dit, si on est sur que la norme n'est pas euclidienne ça donne bien un moyen de le démontrer.

C'est la définition d'une norme sur une algèbre, donc est-ce que tu te places sur une algèbre quelconque ou simplement sur une algèbre normée ?

Dans notre cours, on a bien démontré que la norme qu'on a utilisé vérifiait cela, moi je me pose la question est ce qu'on peut toujours trouver une telle norme sur une algèbre quelconque ?


Merci à vous.

Cordialement
Mimo

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

est ce qu'on peut toujours trouver une telle norme sur une algèbre quelconque ?

L'existence d'une telle norme est équivalente à la continuité de l'application bilinéaire .

Utiliser une topologie pour laquelle la multiplication de l'algèbre est discontinue n'est peut-être pas la meilleure des idées.

[invitebe08d051]

Utiliser une topologie pour laquelle la multiplication de l'algèbre est discontinue n'est peut-être pas la meilleure des idées.

Je ne dirai pas le contraire.

Merci.

[invitebe08d051]

Salut,

Je reviens sur ce fil juste pour ajouter que si on impose que l'algèbre soit de dimension finie (non nulle bien sur ), il est toujours possible de trouver une telle norme, si je note un norme quelconque sur (de toute façon elle sont équivalentes), il suffit de considérer:

.

On peut alors vérifier que est bien une norme d'algèbre sur E.

De surcroit, il est clair que c'est possible puisque l'application bilinéaire de dans lui même ne peut être que continue.

Cordialement

[invite5f67e63a]

Bonjour,
Ca marche meme si ton algèbre n'est pas de dimension finie.

[invite5f67e63a]

L'existence d'une telle norme est équivalente à la continuité de l'application bilinéaire .

Utiliser une topologie pour laquelle la multiplication de l'algèbre est discontinue n'est peut-être pas la meilleure des idées.

Heu, équivalente oui et non.
Ce ne sera pas equivalent dans le sens ou si tu prends une algèbre normée telle que la multiplication soit continue alors on aura pas en general |ab|<=|a||b| (il y aura une constante C qui intervient a priori).

Par contre quivalent dans le sens ou il existera une norme equivalente a la norme de ton algèbre qui verifie bien |ab|<=|a||b|

[invitebe08d051]

Bonjour,
Ca marche meme si ton algèbre n'est pas de dimension finie.

C'est peut être vrai, mais je me suis aperçu que ce ne sera pas très utile.

En dimension finie, les normes sont équivalentes, donc je peux travailler avec une telle norme (celle de mon post précèdent par exemple) sans problèmes, par contre l'étude d'un espace vectoriel de dimension infinie dépend de la topologie considérée, même si une norme qui vérifie cette propriété existe, mon étude ne se fait pas forcément par rapport à cette norme.

Finalement, en dimension infinie ça n'a pas beaucoup d'intérêt.

En tout cas, merci de votre réponse.

Cordialement

[invite5f67e63a]

C'est peut être vrai, mais je me suis aperçu que ce ne sera pas très utile.

En dimension finie, les normes sont équivalentes, donc je peux travailler avec une telle norme (celle de mon post précèdent par exemple) sans problèmes, par contre l'étude d'un espace vectoriel de dimension infinie dépend de la topologie considérée, même si une norme qui vérifie cette propriété existe, mon étude ne se fait pas forcément par rapport à cette norme.

Finalement, en dimension infinie ça n'a pas beaucoup d'intérêt.

En tout cas, merci de votre réponse.

Cordialement

Bah si, parce que comme il a deja été dit, etudier une algèbre puni d'une topologie pour laquelle la multiplication n'est pas continue n'a pas grand interet...
Là on sait qu'un telle topologie existe toujours pour une R-algèbre.