Injectivité, Surjectivite : Comment s'y prendre??

[inviteb75a476e]

Bonjour!

(Précisons que j'ai bien sonder les posts sur le sujet avant, sans arriver à résoudre mon problème :/)

Je commence par l'injectivité

J'essaie de prouver que :
(f : A -> B injective) <=> (F : P(A) -> P(B) injective avec F(C):{f(x), avec x appartenant à C} )

pour le => j'ai fait comme suit:

Si f injective :
Soit (X,Y) \in P(A)²
Si F(X)=F(Y), alors {f(x), avec x appartient X} = {f(y), y \in Y}

... et là je ne vois pas du tout comment en conclure que f(x)=f(y) (pour utiliser l'injectivité de f et en conclure que x = y)

Pour le <= encore moins réussi..

C'est sûrement un problème très facile mais j'ai beaucoup de mal à me représenter l'idée.

Merci!
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[Médiat]

Bonjour

Si f injective :
Soit (X,Y) \in P(A)²
Si F(X)=F(Y), alors {f(x), avec x appartient X} = {f(y), y \in Y}

... et là je ne vois pas du tout comment en conclure que f(x)=f(y) (pour utiliser l'injectivité de f et en conclure que x = y)

Si c'est vrai pour tous les sous-ensembles X et Y de A, cela doit être vrai pour les singleton {x} et {y}, et dans ce cas la réponse est immediate.

Dans l'autre sens, il n'y a pas d'astuce, c'est tout bête tout simple (peut-être plus simple en partant de 2 ensembles X et Y différents ...).

[inviteb75a476e]

Merci pour cette réponse éclaire et claire..

Il suffirait donc de préciser: Quelque soit (X,Y) appartenant à P(A)², si on a F(X)=F(Y)
alors {f(x),x /in X} = {f(y),y /in Y} c'est à dire f(x) = f(y) pour tout x de X et y de Y, donc pour tout x et y de A?

[Médiat]

Pas tout à fait ; mais si vous partez de X et Y différent, cela veut dire qu'il existe un élément z qui appartient à X mais pas Y (ou le contraire), donc tel que f(z) appartient à f(X), et si f(X) = f(Y) cela veut dire qu'il existe un t dans Y tel que f(t) = f(z), que peut-on dire alors de t et de z, sachant que f est injectif ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb75a476e]

qu'ils sont égaux, merci beaucoup!
Je vais tater ça avec d'autres exemples pour me construire une modélisation solide des différents aspects/notions d'ensemble