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Injectivité, Surjectivite : Comment s'y prendre??



  1. #1
    M-ray

    Injectivité, Surjectivite : Comment s'y prendre??


    ------

    Bonjour!

    (Précisons que j'ai bien sonder les posts sur le sujet avant, sans arriver à résoudre mon problème :/)

    Je commence par l'injectivité

    J'essaie de prouver que :
    (f : A -> B injective) <=> (F : P(A) -> P(B) injective avec F(C):{f(x), avec x appartenant à C} )

    pour le => j'ai fait comme suit:

    Si f injective :
    Soit (X,Y) \in P(A)²
    Si F(X)=F(Y), alors {f(x), avec x appartient X} = {f(y), y \in Y}

    ... et là je ne vois pas du tout comment en conclure que f(x)=f(y) (pour utiliser l'injectivité de f et en conclure que x = y)

    Pour le <= encore moins réussi..

    C'est sûrement un problème très facile mais j'ai beaucoup de mal à me représenter l'idée.

    Merci!

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Médiat

    Re : Injectivité, Surjectivite : Comment s'y prendre??

    Bonjour
    Citation Envoyé par M-ray Voir le message
    Si f injective :
    Soit (X,Y) \in P(A)²
    Si F(X)=F(Y), alors {f(x), avec x appartient X} = {f(y), y \in Y}

    ... et là je ne vois pas du tout comment en conclure que f(x)=f(y) (pour utiliser l'injectivité de f et en conclure que x = y)
    Si c'est vrai pour tous les sous-ensembles X et Y de A, cela doit être vrai pour les singleton {x} et {y}, et dans ce cas la réponse est immediate.

    Dans l'autre sens, il n'y a pas d'astuce, c'est tout bête tout simple (peut-être plus simple en partant de 2 ensembles X et Y différents ...).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    M-ray

    Re : Injectivité, Surjectivite : Comment s'y prendre??

    Merci pour cette réponse éclaire et claire..

    Il suffirait donc de préciser: Quelque soit (X,Y) appartenant à P(A)², si on a F(X)=F(Y)
    alors {f(x),x /in X} = {f(y),y /in Y} c'est à dire f(x) = f(y) pour tout x de X et y de Y, donc pour tout x et y de A?

  5. #4
    Médiat

    Re : Injectivité, Surjectivite : Comment s'y prendre??

    Pas tout à fait ; mais si vous partez de X et Y différent, cela veut dire qu'il existe un élément z qui appartient à X mais pas Y (ou le contraire), donc tel que f(z) appartient à f(X), et si f(X) = f(Y) cela veut dire qu'il existe un t dans Y tel que f(t) = f(z), que peut-on dire alors de t et de z, sachant que f est injectif ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. #5
    M-ray

    Re : Injectivité, Surjectivite : Comment s'y prendre??

    qu'ils sont égaux, merci beaucoup!
    Je vais tater ça avec d'autres exemples pour me construire une modélisation solide des différents aspects/notions d'ensemble

  7. A voir en vidéo sur Futura

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