polynômes de Lagrange
Bonjour à tous.
Je sèche sur un exercice qui à l'air tout simple à propos des polynômes de Lagrange.
"soient xi, i = 0, 1, . . . , n, et le polynôme de Lagrange Ln,j pour
j = 0, 1, . . . , n. Prouvez que la somme de j=0 à n des Ln,j(x) est égale à 1 pour tout x∈ R."
J'ai essayé de partir de la définition des polynômes de Lagrange et de simplifier mais je n'aboutis à rien.
Si quelqu'un peut aider ça serai super (j'ai un exam mardi sur ce sujet donc une réponse rapide serai encore mieux)
Salut
Je te rappelle que l'application
F:Rn[X]->Rn+1
P->(P(x0),...,P(xn))
qui a un polynôme de degré n associe ses valeurs aux n+1 points deux à deux distincts x0,...,xn est un isomorphisme puisque
1- elle est clairement linéaire d'après la définition des opérations sur les polynômes (c'est un simple calcul).
2-les espaces vectoriels Rn[X] et Rn+1 ont la même dimension n+1 (pour le deuxième espace c'est évident c'est même le prototype d'espace de dimension n+1, il suffit de regarder le nombre d'élément de sa base canonique, pour le premier espace, la définition des polynômes rend évident le fait que (1,X,X2,...,Xn) est une base et elle a n+1 éléments)
3-elle est injective puisque un antécédent de (0,...,0) par cette application est nécessairement le polynôme nul puisque c'est alors un polynôme de degré n qui a n+1 racines deux à deux distinctes et qu'une propriété classique mais fondamentale des polynômes dit qu'ils ont au plus autant de racines que leur degré.
Dès lors cette application est surjective et cela démontre l'existence des polynômes de Lagrange puisqu'alors chaque vecteur ej de la base canonique de Rn+1 a un unique antécédent Lj,n. Maintenant réponds aux questions suivantes:
1- Calculer les images de 1 et de la somme des Lj,n par F?
2- conclure.
Les mathématiques ne s'apprennent pas elles se comprennent.
Merci beaucoup pour l'aide c'est exactement ce que je cherchais. Je me rappellerai cette méthode.
Bonsoir,
Je propose une autre méthode, qui en fait est la même que celle de KerLannais mais de façon implicite.
Sachant que les polynômes de Lagrange Lj sont de degré au plus n, et notant S=somme des Lj (j=0..n) ; on définit P(X)=S(X)-1.
P(xk)= ?
Que peut-on en déduire en sachant que deg(P)=n au plus (puisque deg(Lj)=n au plus) ?
Cordialement,
G.
bonjours tout le monde concernant les polynomes de lagrange , l'exercice me demande de prouver que la somme des Li pour tout x est egale a 1 mais en
partant du cas particulier ou le polynome d'interpolation coincide avec f en tous points ! est ce que quelqu'un peut m'aider ?? merci bcp
