Bonjour,
Cet exercice me pose problème:
Soit p une application, p: E-->E tq pop = p
Mq que si p injective ou surjective alors p = IdE ...
Je ne sais pas trop par quoi commencer, je ne vois pas dans quel cas p serait différent de l'application identité de E ...
Soit x appartenant à E alors p(x)=p(px))
Donc pour moi p(x) = x
p : x--> x donc p serait l'application identité.
Mon problème est donc de démontrer que p(x)=p(p(x)), si mon raisonnement a été bon .
Merci
O.S.
Bonjour.
Considère l'application p : x -->0. p(p(x))=p(x), mais p(x) ne vaut généralement pas x.
"Donc pour moi p(x) = x " ?? La question importante n'est pas ce que tu penses, mais ce qu'on démontre.
Cordialement.
Merci pour votre réponse,
Dans l'exemple que vous donniez, E = 0 ?
Dites moi si ceci est suffisant pour p injective :
p={pour tout y appartenant à E, y a au plus un antécédent par p noté x appartenant à E }
or comme x et y appartiennent à E
x=y donc p est l'identité ?
Merci
O.S.
Bonjour,
Envoyé par OmbreSocial
Si tu veux exprimer que p est injective, tu peux le faire comme ceci :
Quels que soient x et y appartenant à E, p(x)=p(y) => x=y
Cordialement
Dernière modification par PlaneteF ; 09/10/2013 à 14h51.
PlaneteF,
Je voulais exprimer plus que ça :
y,x appartenant à E tq y = p(x)
mais dans l'hypothèse que x = ensemble vide je sais pas si on peut tout de même écrire y=p(x) ?
Si oui alors : p(p(x)) = p(x) = y donc p(y) = p(x)
Donc comme p injective y = x
Ca me semble cohérent dans le cas ou la notation y = p(x) est juste ...
Merci
O.S.
Je ne sais pas ce que c'est ton histoire de y ?
De manière simple et claire :
Soit x quelconque appartenant à E.
Par hypothèse : p[p(x)] = p(x)
Dans le cas où p est injective, on en déduit alors que p(x)=x, et puisque cela est vrai quel que soit x appartenant à E, on en conclut que p=IdE
A partir de là je ne vois pas où est ton questionnement ?
Cordialement
Dernière modification par PlaneteF ; 09/10/2013 à 15h30.
Je voulais me baser sur un élément de l’ensemble image de la fonction p: E-->F
Donc y appartenant à F or F =E donc y appartient à E ?
Merci
O.S.
Pour quoi faire ? Cf. message#6
Cdt
Dernière modification par PlaneteF ; 09/10/2013 à 15h38.
Je sais pas comment vous prouvez que p(x) = x
Mais je pensais le faire ne passant par :
p(p(x)) = p(x) = y donc p(y) = p(x)
Donc comme p injective y = x
Je comprend que si p(p(x))=p(x) alors p(x) = x c'est juste mais je sais pas le démontrer ..
Merci.
Mais c'est l'injectivité de p qui te donne le résultat directement, par définition même !
Si tu veux détailler, tu sais que si p est injective :
Pour tous machintruc et machinchose appartenant à E, p(machintruc)=p(machinchose) => machintruc=machinchose
Ici tu prends : machintruc=p(x) (qui appartient bien à E) et machinchose=x (qui appartient bien à E)
Cdt
Dernière modification par PlaneteF ; 09/10/2013 à 16h31.
Ah oui quel idiot, je suis ><...
Merci je ne l'avais pas vu ...
Mais ce que j'ai fait est faux ?
Tu parles de quel de tes messages ?
Dernière modification par PlaneteF ; 09/10/2013 à 16h41.
il reste à voir le cas où p est surjective.
ben non ! Pourquoi cette drôle d'idée. Tu disais que tu ne voyais pas d'autre possibilité que p=Id, je t'ai donné un exemple où p n'est pas l'identité (mais n'est pas injective ni surjective, c'est normal).
Cordialement.
Je parlais de ça :
Pour p injective :
soit y appartenant à E tq y=p(x)
p(p(x)) = p(x) = y donc p(y) = p(x)
Donc comme p injective y = x
D'où p = IdE
( ça revient à faire en plus long, ce que PlaneteF a fait .. )
Mais je pense que c'est juste.
Pour P surjective on a :
p(px)) = p(x)
Donc p(x) est un antécédent de p(x) par p
d'où p: x-->x
Donc p = IdE
C'est suffisant comme explication ?
Merci
O.S
Pas tout à fait.C'est suffisant comme explication ?
"d'où p: x-->x" ne veut pas dire grand chose. Une phrase en bon français serait plus claire, et justifierait peut-être (mais j'en doute) que p est l'identité.
En fait, tu n'as nulle part utilisé la surjectivité; elle est pourtant essentielle ici.
Cordialement.
Pour l'injectivité, ton "soit y appartenant à E tq y=p(x)" est bizarre. On ne sait pas qui est x et tu sembles restreindre ta réflexion aux images par p. Et les y qui ne sont pas des p(x), ils font quoi ?
Alors qu'il suffit de prendre un x dans E, et on a tout de suite son image y=p(x) si on veut.
Cordialement.
Pour la surjectivité ;
j'ai rajouté,
Pour P surjective on a :
Soit x appartenant à E
p(px)) = p(x)
Donc p(x) est un antécédent de p(x) par p
Or comme p est surjective p(x) a au moins un élément et que p(x) et x appartiennent à E
donc il existe une unique correspondance entre x et p(x) tq p(x) = x
Donc p = IdE
Est-ce plus clair ?
Merci beaucoup !
Pas du tout de chez "pas du tout" !
C'est tellement plus simple :
Soit
Siest surjective alors par définition
Je te laisse finir, c'est quasi-terminé !
Cdt
Dernière modification par PlaneteF ; 09/10/2013 à 22h16.
Il y a même une partie incompréhensible : "Or comme p est surjective p(x) a au moins un élément .." C'est quoi, "un élément" de p(x) ?
Et le " il existe une unique correspondance entre x et p(x) " est assez mystérieux ...
Ne pourrais-tu te contenter d'appliquer les règles et définitions connues à la situation ?
Cordialement.
Ah, je crois comprendre :
or
donc
Donc
Bien plus simple en effet, enfin si c'est effectivement ça ^^'
Merci
C'est un peu brouillé :
n'explique pas pourquoi ce "donc".or
donc
Alors que x=p(x')=p(p(x'))=p(x) car p(x')=x
est totalement compréhensible. Non ?
Oui, c'est vrai, je l'ai fait mentalement ...
J'ai d'énorme progrès à faire en clarté, je pense
MERCI, ça m'a un peu aidé à comprendre la surjection et l'injection et beaucoup aidé pour la démonstration !!
O.S
Autre façon de rédiger :
On part de : x=p(x')
On applique p à cette égalité ce qui donne : p(x)=pop(x') et donc p(x)=p(x') (puisque pop=p)
Et donc finalement : p(x)=x
Dernière modification par PlaneteF ; 09/10/2013 à 22h48.
Mais du coup,
on utilise absolument pas la surjectivité ou l'injectivité de p ..
Je suis pas sur de ça, mais sans la surjectivité ou l'injectivité de p,
on pourrait ne pas avoir
p(x)=x <=> p : x-->x ?
Dernière modification par PlaneteF ; 09/10/2013 à 23h04.
Dans ton exemple :
On utilise pas l'injectivité ni la surjectivité,ou bien ?On part de : x=p(x')
On applique p à cette égalité ce qui donne : p(x)=pop(x') et donc p(x)=p(x') (puisque pop=p)
Et donc finalement : p(x)=x
ET je fessais également référence à :
Considère l'application p : x -->0. p(p(x))=p(x), mais p(x) ne vaut généralement pas x.
Tu oublies que x' ne tombe pas du ciel et que dans un message précédent j'avais écrit :
Si
Dernière modification par PlaneteF ; 09/10/2013 à 23h22.
AH, Je pensais que tu parlais d'une résolution globale simplifié ...
Je fatigue moi ...
Merci encore !
Bonjour,
Personnellement je trouve pas ces solutions tres eclairantes, voici une proposition d'une autre solution (de "nature" differente).
Si pop=p et p injective (resp surjective), alors p est inversible a gauche (resp a droite), donc il existe g tel que gop=1 (resp pog=1), par composition à gauche (resp à droite) par g on a p=1.
