Appication injective/surjective; pop=p

[taladris]

Dans le cas surjectif, on a besoin de l'Axiome du choix pour construire l'inverse a droite, non?

Cordialement
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[invite02232301]

Certes, oui!
Mais personnellement cette propriété figurait dans mon cours de sup, donc je pense que c'est su.

(C'est vrai qu'en debut de sup, je n'ai meme pas du voir qu'il y a besoin de qqch pour dire que si E_i est une famille d'ensembles non vide alors leur produit est non vide, ce qui est ce qu'on utilise pour prouver la proposition).

[gg0]

Où as-tu vu un inverse ?

la preuve est simple :
Soit x un élément de E. p étant surjective, il existe un x' de E tel que x=p(x').
x=p(x')=p(p(x))=p(x).

Donc pour tout x de E, p(x)=x
Donc p est l'application identique de E.

Cordialement.

[invite02232301]

Taladris parlait de construire un inverse a droite d'une fonction surjective quelconque, faisant ainsi echo a mon message. Il y a besoin de l'axiome du choix dans ce cas la.

[gg0]

Ah désolé,

j'avais zappé ton message (changement de page). C'est quand même un peu un marteau pilon pour écraser une mouche, non ?
Je ne trouve pas ta proposition très éclairante non plus : Je n'ai pas compris !!
gogop = g oui, et alors ?

Cordialement.

[invite02232301]

Je ne trouve pas que ce soit marteau pilon pour ecraser une mouche. Il me semble que la propriété f surjective <=> f inversible a droite est dans le cours standard de première année (et elle est naturelle).
Ma proprositon dit que si p est surjective, alors soit g son inverse à droite on a pop=p, en composant par g a droite on a popog=pog, le membre de droite etant 1 et le membre de gauche etant p, ca donne p=1.

Je n'ai rien contre votre preuve en soi, mais je trouve que c'est bien d'initier aux etudiants (quand c'est possible) a raisonner de façon "dynamique" (dans le sens essayer de prouver les choses avec les propriétés des applications) plutot que "statique" (je sais pas si je suis tres claire, je ne parle pas de la demarche de l'etudiant, mais de la "nature" de la preuve, bref c'etait pas une critique...).

Cordialement.

[gg0]

C'est amusant,

c'est exactement le même calcul écrit avec es fonctions, donc plus difficile à saisir par un débutant. C'est aussi pourquoi je cherchais dans une autre direction.
Et finalement, ta preuve
1) Nécessite une propriété qui n'est pas utile ici
2) une fois rédigée est aussi longue que l'autre
3) n'est pas évidente pour quelqu'un qui découvre ce type de sujets
Donc elle a surtout un intérêt heuristique, elle permet de faire progresser un étudiant qui comprend bien ce genre de situation.

Une remarque : "Il me semble que la propriété f surjective <=> f inversible a droite est dans le cours standard de première année (et elle est naturelle)." manque de sérieux. Si je comprends bien, tu appelles "cours standard" celui que tu as suivi ou que tu fais. Bien que ce soit assez évident, je dois dire qu'en bientôt 50 ans je ne l'ai jamais rencontrée dans des cours de niveau bac+1, y compris certains ouvrages de préparation à l'agrégation. Elle existe sans doute dans certains des nombreux ouvrages que je n'ai pas consultés, mais a peu de chances d'être dans le cours de OmbreSocial.

Cordialement.

Nb : j'aime bien ta preuve, une fois rédigée, mais il faudrait en éliminer la nécessité de l'axiome du choix.

[invite02232301]

Je ne me rappelle plus trop trop ce qu'il y avait effectivement dans mon cours de premier année (sur wiki la propriété est enoncé tres vite). Dans le cours que j'enseigne (enfin dont je fais(ais) les td's), elle est prise comme definition d'etre surjective (ce qui à mon avis est une meilleure definition que la definition classique).

Pour l'axiome du choix, il est dans la nature des choses, puisqu'il est équivalent à l'existence de l'inverse à droite d'une surjection (la preuve se fait en deux lignes).

Cordialement.

[OmbreSocial]

Bonjour,
MissPacMan, Je cerne mal le "à gauche/à droite"
C'est en rapport avec les diagrammes de Van ?
Cordialement
O.S.

[PlaneteF]

C'est en rapport avec les diagrammes de Van ?

Tu veux plutôt dire diagrammes de Venn ?!


Sinon, une fonction f de E vers F est inversible à gauche s'il existe une fonction g de F vers E / gof=Id_E (définition similaire à droite).


Cdt

[OmbreSocial]

Oui diagrammes de Venn...
Merci je ne connaissais pas l'orthographe, notre professeur l'avait juste évoqué à l'oral..

une fonction f de E vers F est inversible à gauche s'il existe une fonction g de F vers E / gof=IdE

On a parlé de bijective réciproque mais je pense pas que ça soit identique.

Cdt

[PlaneteF]

On a parlé de bijective réciproque mais je pense pas que ça soit identique.

Ben il y a quand même un lien étroit car :

Une application f de E vers F est bijective <=> elle est inversible <=> elle est inversible à gauche et à droite

[PlaneteF]

... Et l'inversibilité de f donne bien sa bijection réciproque !

[OmbreSocial]

J’espère que je dois pas utiliser " l'axiome du choix" ^^
Parce que pour le peu que j'ai regardé sur wiki, c'est assez .... puissant ^^'

une fonction f de E vers F est inversible à gauche s'il existe une fonction g de F vers E / gof=IdE

une fonction f de F vers E est inversible à droite s'il existe une fonction g de E vers F / fog = IdF

ça c'est juste ?

[PlaneteF]

J’espère que je dois pas utiliser " l'axiome du choix" ^^

On a besoin de l'axiome du choix (si on le pose comme tel) pour démontrer que (surjectivité <=> inversibilité à droite), pas pour utiliser cette propriété.

une fonction f de F vers E est inversible à droite s'il existe une fonction g de E vers F / fog = IdF

ça c'est juste ?

Pas exactement, car par rapport à ta définition de f et g, on doit avoir fog=Id_E pas Id_F

[taladris]

J’espère que je dois pas utiliser " l'axiome du choix" ^^

Tu peux oublier l'Axiome du Choix (pour le moment ). Comme l'a dit PlaneteF, si le theoreme "inversible a droit <=> surjectif" est dans ton cours, tu peux l'utiliser sans soucis. Et si jamais tu as a prouver cette propriete, en prepa, personne ne t'en voudra si tu ne cites pas l'Axiome du Choix.