justification de l'intégrabilité

[invite85f7dd8b]

Bonjour,
S'il vous plait quelles sont les différentes méthodes (avec les prop utiliser) pour justifier l'intégrabilité d'une fonction sur un intervalle quelconque.


Merci d'avance.
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[KerLannais]

Salut,

On utilise en général des condition suffisantes d'intégrabilités mais qui sont loin d'être nécessaire mais largement suffisantes pour traiter la quasi totalité des cas pratiques

D'abord il faut faire attention à un piège à con: il peut y a voir une problème en un ou plusieurs (mais un nombre fini quand même) points à l'intérieur de l'intervalle. Il faut donc, quitte à découper l'intégrale par une relation de Chasles se ramener au cas d'une fonction continue ou continue par morceaux définie sur tout l'intervalle. On utilise alors la propriétés qui dit qu'une fonction continue par morceaux est intégrable au sens de Riemann sur tout segment (il s'agit simplement de la construction de l'intégrale de Riemann pour ces fonctions) pour dire qu'elle est intégrable sur tout segment contenu dans l'intervalle il reste donc juste à montrer que lorsque les bornes du segment tendent vers les bornes de l'intervalle, l'intégrale à bien une limite. Quitte à couper en deux l'intégrale on peut traiter les problème à chaque borne successivement. Par exemple supposons qu'on soit sur un intervalle (il y a un problème seulement à droite, le cas du problème à gauche étant parfaitement symétrique). Il y a alors deux cas
1er cas
Alors soit la fonction se prolonge par continuité en et on est donc dans le cas d'une intégrale définie sur un segment et c'est fini. (Attention énorme piège à con, cela ne marche pas si , j'ai été horrifié d'avoir des étudiants en colle pour dire ce genre de bétise, je ne pensais même pas que cela fut possible) soit la fonction à une limite infinie (il n'y a pas en général le cas où la fonction n'a pas de limite du tout dans les exo d'intégrabilité). Dans ce cas on utilise le Critère de Riemann:
Si
avec alors l'intégrale converge
Si
avec alors l'intégrale diverge. On applique donc simplement le principe de comparaison pour les intégrales, qui est le même que celui pour les séries en comparant aux fonctions
Eventuellement on peut comparer aux fonctions (critère de Bertrand) mais cela commence à être des exos plus difficiles.

Dans le cas on utilise encore le critère de Riemann: si

avec alors l'intégrale converge, si

avec alors l'intégrale diverge.