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exp, ln et croissances comparées.



  1. #1
    pedrohero7

    Thumbs up exp, ln et croissances comparées.


    ------

    Bonjour bonjour, voici un exercice intéressant:

    1. Trouver le minimum, qu'on notera m, de xx pour x>0.

    2. Soit x,y<1 dans R tels que 0<yx<1.
    Montrer que : xy+yxmy/x + m*(y/x).

    3. En déduire que :
    pour tout x,y dans R*+, xy+yx > 1.
    hint: si x,y < 1 utiliser 2. et étudier g: [0,1]—> R, g(t)=mt+ mt.

    Bon, alors la question 1. j'ai trouvé m=1/e1/e.
    Quant à la question 2. là j'avoue que la seule idée qui m'est venue à l'esprit c'est d'étudier la fonction xy+ yx-my/x-m*y/x, mais cela me semble fastidieux. Pouvez-vous m'aider ? Merci d'avance, salutations.

    -----

  2. #2
    matt 91

    Re : exp, ln et croissances comparées.

    Je propose une solutionpour la question 2
    on pose X=y/x.
    On a xy= (xx)X.
    Et yx= Xx*xx.

    On a (xx)X>(mm)X>mX

    Et on a Xx>X et xx>mm>m
    Donc Xx*xx>mX.

    Ce qui donne: xy+yx>mX+mX
    ou encore: xy+yx>m(y/x)+m*(x/y)

    Il doit peut etre y avoir quelques fautes, mais bon j'aurais essayé.

  3. #3
    pedrohero7

    Re : exp, ln et croissances comparées.

    Tu es parti de la définition du minimum et ça me semble correct ce que tu as fait. Pour être rigoureux, il faut bien préciser que tout est supérieur à 0 mais sinon merci

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