exp, ln et croissances comparées.

[invite201f4c83]

Bonjour bonjour, voici un exercice intéressant:

1. Trouver le minimum, qu'on notera m, de x^x pour x>0.

2. Soit x,y<1 dans R tels que 0<y≤x<1.
Montrer que : x^y+y^x≥ m^y/x + m*(y/x).

3. En déduire que :
pour tout x,y dans R*₊, x^y+y^x > 1.
hint: si x,y < 1 utiliser 2. et étudier g: [0,1]—> R, g(t)=m^t+ mt.

Bon, alors la question 1. j'ai trouvé m=1/e^1/e.
Quant à la question 2. là j'avoue que la seule idée qui m'est venue à l'esprit c'est d'étudier la fonction x^y+ y^x-m^y/x-m*y/x, mais cela me semble fastidieux. Pouvez-vous m'aider ? Merci d'avance, salutations.
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[invitef707e9ad]

Je propose une solutionpour la question 2
on pose X=y/x.
On a x^y= (x^x)^X.
Et y^x= X^x*x^x.

On a (x^x)^X>(m^m)^X>m^X

Et on a X^x>X et x^x>m^m>m
Donc X^x*x^x>mX.

Ce qui donne: x^y+y^x>m^X+mX
ou encore: x^y+y^x>m^(y/x)+m*(x/y)

Il doit peut etre y avoir quelques fautes, mais bon j'aurais essayé.

[invite201f4c83]

Tu es parti de la définition du minimum et ça me semble correct ce que tu as fait. Pour être rigoureux, il faut bien préciser que tout est supérieur à 0 mais sinon merci